Đến nội dung

Hình ảnh

Giải hệ $\left\{\begin{matrix} &x^2+y^2+x+y=4 \\ &(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=9 \end{matrix}\right.$

- - - - - hệ phương trình liên hợp bất đẳng thức

Lời giải HaiDangPham, 09-06-2023 - 17:21

Làm lại. 

 

* Trước hết, ta có $\frac{(x+y)^2}{2} \leq x^2+y^2$, kết hợp với $(1)$ suy ra $$\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y) \leq 4$$ biến đổi tương đương ta được $$(x+y-2)(x+y+4) \leq 0,$$ tức là ta phải có $$-4\leq x+y \leq 2.$$

* Bây giờ, viết lại $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(y+3)}$$ 

Ta có ngay đánh giá $$\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq \frac{(x+3)+(y+3)}{2}=\frac{(x+y)+6}{2}\leq \frac{2+6}{2}=4.$$ 

* Tiếp theo, ta chứng minh $$ xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$$Xét các trường hợp: 

$(i)$ Trường hợp $x\geq 0, y \geq 0$. 

Khi đó từ $0\leq x+y\leq 2$ ta suy ra $(x+y)^2\leq 4$. Do đó $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq 1$. 

Để ý rằng $$x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2\leq\frac{1}{2}x.\frac{(y+3)+4}{2}=\frac{7x+xy}{4}\leq\frac{7x+1}{4}$$

Tương tự ta có $$y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7y+1}{4}$$ Do đó 

$$x.\sqrt{y+3}+y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7x+1}{4}+\frac{7y+1}{4}=\frac{7(x+y)+2}{4} \leq\frac{7.2+2}{4}=4$$

Vậy $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 1+4=5.$$

$(ii)$ Trường hợp $x\leq 0, y\leq 0$.  

Từ $x+y\geq -4$ ta suy ra $0 \leq (-x)+(-y)\leq 4$, dẫn tới $$xy=(-x)(-y)\leq \frac{[(-x)+(-y)]^2}{4}\leq \frac{4^2}{4}=4.$$ Mà $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 0$, suy ra $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}\leq 4<5.$$

$(iii)$ Trường hợp $xy\leq 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x\leq 0$ và $y\geq 0$. 

Ta viết lại $(1)$ dưới dạng tương đương $$(2x+1)^2+(2y+1)^2=18$$

Từ đây suy ra $(2y+1)^2\leq 18$, dẫn tới $y \leq \frac{3\sqrt{2}-1}{2}$. 

Do đó $$x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq y\sqrt{x+3} =\frac{y}{2}.\sqrt{x+3}.2 \leq \frac{y}{2}.\frac{(x+3)+4}{2} =\frac{xy+7y}{4} \leq \frac{7y}{4} \leq \frac{7}{4}.\frac{3\sqrt{2}-1}{2}<5$$

Mà $xy\leq 0$ nên ta suy ra ngay $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}<5.$$

* Tóm lại ta có $\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq 4$ và $xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$ Vì vậy $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 9.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$. 

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $(1;1)$. 

 

 

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &x^2+y^2+x+y=4 \\ &(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=9 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 16-05-2023 - 22:47


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Ta có dự đoán $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 9.$$ Dự đoán này đáng tin cậy bởi thử kiểm tra với ba nghiệm của phương trình $x^2 +y^2 +x+y=4$ $(1)$ là $(1;1)$, $\left(0; \frac{-1+\sqrt{7}}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2}; \frac{-1+\sqrt{14}}{2}\right)$ ta đều thấy đúng. 

 

Lời giải chi tiết được trình bày dưới đây.   

 

Trước hết, ta có $\frac{(x+y)^2}{2} \leq x^2+y^2$, kết hợp với $(1)$ suy ra $$\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y) \leq 4$$ biến đổi tương đương ta được $$(x+y-2)(x+y+4) \leq 0,$$ tức là ta phải có $$x+y \leq 2.$$

Ta lại có $xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ do đó$$xy \leq 1.$$

 

Bây giờ, viết lại $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(y+3)}$$ 

Ta có ngay đánh giá $$\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq \frac{(x+3)+(y+3)}{2}=\frac{(x+y)+6}{2}\leq \frac{2+6}{2}=4.$$

Tiếp theo, để ý rằng $$x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2\leq\frac{1}{2}x.\frac{(y+3)+4}{2}=\frac{7x+xy}{4}\leq\frac{7x+1}{4}$$

Tương tự ta có $$y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7y+1}{4}$$ Do đó 

$$x.\sqrt{y+3}+y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7x+1}{4}+\frac{7y+1}{4}=\frac{7(x+y)+2}{4} \leq\frac{7.2+2}{4}=4$$

Như vậy $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 1+4+4=9$$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$. 

 

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $(1;1)$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-06-2023 - 08:35

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Chứng minh trên của mình bị lỗi. Chỗ $x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2 \leq...$ không đúng với $x<0$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Chứng minh trên của mình bị lỗi. Chỗ $x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2 \leq...$ không đúng với $x<0$. 

 

Ta khắc phục lỗi trên bằng cách chứng minh $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 4$ với ba trường hợp khác nhau. 

Trường hợp $x \geq 0, y\geq 0$ ta chứng minh như trên.

Trường hợp $x \leq 0, y\leq 0$ khi đó $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 0 <4$.

Trường hợp $xy \leq 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x\leq 0$ và $y\geq 0$. Ta viết lại $(1)$ dưới dạng tương đương $$(2x+1)^2+(2y+1)^2=18$$

Từ đây suy ra $(2y+1)^2\leq 18$, dẫn tới $y \leq \frac{3\sqrt{2}-1}{2}$. 

Do đó $$x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq y\sqrt{x+3}\leq \frac{7}{4}y+\frac{1}{4} \leq \frac{7}{4}.\frac{3\sqrt{2}-1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{21\sqrt{2}-5}{8}<4$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-06-2023 - 00:58

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#5
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

$(x+y-2)(x+y+4) \leq 0,$ tức là ta phải có $x+y \leq 2.$

Ta lại có $xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ do đó $xy \leq 1.$

Đoạn này em thấy chưa chuẩn rồi ạ.

Có $(x+y-2)(x+y+4) \leq 0 \Rightarrow -4\leq x+y\leq 2 \Rightarrow |x+y|\leq 4 \Rightarrow (x+y)^2\leq16$

Vậy ta phải có $xy \leq 4$, ví dụ $x=y=-2$, thỏa pt (1) và khi đó $xy=4$.

Như vậy ta đi đến $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})\leq 4+4+4=12$, nhưng dấu "=" không xảy ra nên $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})<12$ và ta không đi đến kết luận được.



#6
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Lời giải của mình như sau:

+, Ta chứng minh $-4\leq x+y \leq 2$ như trên.

    vì $AB\leq \frac{(A+B)^2}{4}$ nên có $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq \frac{(x+y+\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3})^2}{4},$ $(1)$

 

+, Áp dụng bđt Bunyakovsky có:

$x+y+\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3} \leq x+y+\sqrt{2.(x+y+6)}$, $(2)$

    Xét hàm số $y=f(t)=t+\sqrt{2.(t+6)}$ với $t \in [-4; 2]$.

có $f'(t)>0$ nên hàm số đồng biến, $\forall t \in [-4; 2]$ ta có $f(t)\leq f(2)=6$.

Do đó $x+y+\sqrt{2.(x+y+6)} \leq 6$, $(3)$

 

+, Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra $x+y+\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3} \leq 6$,        $(4)$

    Lại có $x+y\geq -4 \Rightarrow -6<x+y+\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}$, $(5)$

 

+, Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra $\frac{(x+y+\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3})^2}{4} \leq 9$, cùng với $(1)$ suy ra $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 9$.

   

    Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x+3}=y+\sqrt{y+3}\\x+3=y+3\\x+y=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=y=1$.

 

+, Vậy hệ có nghiệm duy nhất: $(x; y)=(1; 1)$



#7
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Đoạn này em thấy chưa chuẩn rồi ạ.
Có $(x+y-2)(x+y+4) \leq 0 \Rightarrow -4\leq x+y\leq 2 \Rightarrow |x+y|\leq 4 \Rightarrow (x+y)^2\leq16$
Vậy ta phải có $xy \leq 4$, ví dụ $x=y=-2$, thỏa pt (1) và khi đó $xy=4$.
Như vậy ta đi đến $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})\leq 4+4+4=12$, nhưng dấu "=" không xảy ra nên $(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})<12$ và ta không đi đến kết luận được.


Ừm. Chỗ $x+y\leq 2$ thì chuẩn rồi, còn $xy \leq 1$ sai. Anh nhầm chỗ từ $x+y\leq 2$ suy ra $(x+y)^2\leq 4$. Điều này chưa chắc đúng nếu $x+y \leq 0$. Chỗ này chắc sẽ khắc phục được.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-06-2023 - 17:00

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#8
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Từ PT $(2)$, ta có ngay bằng cách nhân liên hợp: $(\sqrt{x+3}-x)(\sqrt{y+3}-y)=1$.             $(3)$

Từ $(2)$ và $(3)$, ta được: bài toán tổng $9$ hiệu $1$ của hai nhóm $xy+\sqrt{(x+3)(y+3)}$ và $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}$, suy ra $xy+\sqrt{(x+3)(y+3)}=5$.     $(4)$

Vậy là ta có hệ chỉ có tổng $S=x+y$ và tích $P=xy$ gồm PT $(1)$ và $(4)$.

May mắn là áp dụng thế $P$ theo $S$ thì có $(S,P)\in \{(-4,4),(2,1)\}$ đẹp. :)

 

P/S: Nhớ lưu ý thử lại vì chỉ giải một chiều (bỏ qua các điều kiện $x,y$).


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#9
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết
✓  Lời giải

Làm lại. 

 

* Trước hết, ta có $\frac{(x+y)^2}{2} \leq x^2+y^2$, kết hợp với $(1)$ suy ra $$\frac{(x+y)^2}{2}+(x+y) \leq 4$$ biến đổi tương đương ta được $$(x+y-2)(x+y+4) \leq 0,$$ tức là ta phải có $$-4\leq x+y \leq 2.$$

* Bây giờ, viết lại $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(y+3)}$$ 

Ta có ngay đánh giá $$\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq \frac{(x+3)+(y+3)}{2}=\frac{(x+y)+6}{2}\leq \frac{2+6}{2}=4.$$ 

* Tiếp theo, ta chứng minh $$ xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$$Xét các trường hợp: 

$(i)$ Trường hợp $x\geq 0, y \geq 0$. 

Khi đó từ $0\leq x+y\leq 2$ ta suy ra $(x+y)^2\leq 4$. Do đó $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}\leq 1$. 

Để ý rằng $$x.\sqrt{y+3}=\frac{1}{2}x.\sqrt{y+3}.2\leq\frac{1}{2}x.\frac{(y+3)+4}{2}=\frac{7x+xy}{4}\leq\frac{7x+1}{4}$$

Tương tự ta có $$y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7y+1}{4}$$ Do đó 

$$x.\sqrt{y+3}+y.\sqrt{x+3} \leq \frac{7x+1}{4}+\frac{7y+1}{4}=\frac{7(x+y)+2}{4} \leq\frac{7.2+2}{4}=4$$

Vậy $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 1+4=5.$$

$(ii)$ Trường hợp $x\leq 0, y\leq 0$.  

Từ $x+y\geq -4$ ta suy ra $0 \leq (-x)+(-y)\leq 4$, dẫn tới $$xy=(-x)(-y)\leq \frac{[(-x)+(-y)]^2}{4}\leq \frac{4^2}{4}=4.$$ Mà $x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 0$, suy ra $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}\leq 4<5.$$

$(iii)$ Trường hợp $xy\leq 0$, không mất tính tổng quát giả sử $x\leq 0$ và $y\geq 0$. 

Ta viết lại $(1)$ dưới dạng tương đương $$(2x+1)^2+(2y+1)^2=18$$

Từ đây suy ra $(2y+1)^2\leq 18$, dẫn tới $y \leq \frac{3\sqrt{2}-1}{2}$. 

Do đó $$x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq y\sqrt{x+3} =\frac{y}{2}.\sqrt{x+3}.2 \leq \frac{y}{2}.\frac{(x+3)+4}{2} =\frac{xy+7y}{4} \leq \frac{7y}{4} \leq \frac{7}{4}.\frac{3\sqrt{2}-1}{2}<5$$

Mà $xy\leq 0$ nên ta suy ra ngay $$xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3}<5.$$

* Tóm lại ta có $\sqrt{(x+3)(y+3)} \leq 4$ và $xy+x\sqrt{y+3}+y\sqrt{x+3} \leq 5.$ Vì vậy $$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3}) \leq 9.$$

Dấu "$=$" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=1$. 

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất $(1;1)$. 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 09-06-2023 - 20:14

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#10
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 Xét hàm số $y=f(t)=t+\sqrt{2.(t+6)}$ với $t \in [-4; 2]$.

có $f'(t)>0$ nên hàm số đồng biến, $\forall t \in [-4; 2]$ ta có $f(t)\leq f(2)=6$.

Do đó $x+y+\sqrt{2.(x+y+6)} \leq 6$, $(3)$

 

Ở đây ta không cần thiết phải xét đạo hàm, một kiến thức của THPT. 

Đặt $t=x+y$. Khi đó $-4\leq t \leq 2$. 

Ta có $t+\sqrt{2.(t+6)} \leq 6$ tương đương với $$ \sqrt{2.(t+6)} \leq 6-t. $$ Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được $$ 2(t+6)\leq t^2 -12t +36,$$ chuyển vế và rút gọn ta có $$ t^2-14t +24 \geq 0,$$ hay $$(t-2)(t-12) \geq 0.$$ Bất đẳng thức trên đúng vì $t\leq 2$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#11
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Từ PT $(2)$, ta có ngay bằng cách nhân liên hợp: $(\sqrt{x+3}-x)(\sqrt{y+3}-y)=1$.             $(3)$

Nhân liên hợp sao ra được kết quả trên nhỉ? 

$$(x+\sqrt{x+3})(y+\sqrt{y+3})=\frac{(x+3-x^2)(y+3-y^2)}{(\sqrt{x+3}-x)(\sqrt{y+3}-y)}$$


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#12
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Ở đây ta không cần thiết phải xét đạo hàm, một kiến thức của THPT. 

Đặt $t=x+y$. Khi đó $-4\leq t \leq 2$. 

Ta có $t+\sqrt{2.(t+6)} \leq 6$ tương đương với $$ \sqrt{2.(t+6)} \leq 6-t. $$ Bình phương hai vế bất đẳng thức ta được $$ 2(t+6)\leq t^2 -12t +36,$$ chuyển vế và rút gọn ta có $$ t^2-14t +24 \geq 0,$$ hay $$(t-2)(t-12) \geq 0.$$ Bất đẳng thức trên đúng vì $t\leq 2$. 

vâng, lúc đấy em chả nghĩ ra cứ máy móc đi xét đạo hàm, mà cũng không cần biến đổi tương đương, có ngay $t\leq 2$ và $0<2\leq t+6\leq 8 \Rightarrow \sqrt{2(t+6)} \leq 4$ nên $t+\sqrt{2(t+6)} \leq 6$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 09-06-2023 - 20:51


#13
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

vâng, lúc đấy em chả nghĩ ra cứ máy móc đi xét đạo hàm, mà cũng không cần biến đổi tương đương, có ngay $t\leq 2$ và $0<2\leq t+6\leq 8 \Rightarrow \sqrt{2(t+6)} \leq 4$ nên $t+\sqrt{2(t+6)} \leq 6$, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2$.

 

Với cách chứng minh này thì thậm chí chỗ đó không cần cả đặt ẩn $t$ nữa. Và toàn bộ lời giải thật sự đẹp. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#14
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

:( Nhìn nhằm thành $(\sqrt{x}+\sqrt{x+3})(\sqrt{y}+\sqrt{y+3})=9$. Xem như một bài toán khác vậy. :)


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình, liên hợp, bất đẳng thức

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh