Đến nội dung

Hình ảnh

Gọi $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$. Kiểm tra ba dự đoán liên quan đến dãy $a_n=\frac{p_n+p_{n+1}}{p_{n+2}}$

- - - - -

Lời giải nmlinh16, 11-05-2023 - 02:01

Từ định lý số nguyên tố ta có ước lượng $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n}{n \ln(n)} = 1,$$ (xem https://proofwiki.or...th_Prime_Number) suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln(n)}.$$

Mà $\lim_{n \to +\infty}\dfrac{n+1}{n} = 1$ và $$\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} - 1\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln(n+1) - \ln(n)}{\ln(n)}\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln\tfrac{n+1}{n}}{\ln(n)}\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)}{\ln(n)}\right) = 0$$ nên dễ thấy $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = 1.$$ Nói riêng, $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n+p_{n+1}}{p_{n+2}} = 2.$$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Gọi $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$.  Xét dãy số $(a_n)$ được xác định theo công thức  $a_n=\frac{p_n+p_{n+1}}{p_{n+2}}.$

Kiểm tra xem 3 mệnh đề sau liệu có đúng hay không:

 

MỆNH ĐỀ 1: $a_{n}\geq 1$ với mọi $n$. Dấu "$=$" chỉ xảy ra khi $n=1$. 

MỆNH ĐỀ 2: Không tồn tại hằng số $c<2$ sao cho $a_n<c$ với mọi $n$. 

MỆNH ĐỀ 3: $ a_n\rightarrow 2$ khi $n\rightarrow \infty$.

 

Đây là 3 dự đoán của mình khi nghiên cứu tính chất số nguyên tố. Tuy nhiên mình thực sự không đử sức để làm. 

Trong Mệnh đề 3, mình có lẽ đã hơi hàm hồ, vì thực không hiểu rõ khái niệm "giới hạn" liệu có áp dụng vào đây được không. Do đó mình đã đưa ra một dự đoán yếu hơn và dễ hiểu hơn là Mệnh đề 2. 

 

Dưới đây là bảng tính toán của mình cho $100$ giá trị đầu tiên của dãy $a_n$. Do mình không biết lập trình nên đã lập bảng này hoàn toàn bằng máy tính điện tử. Mình tra cứu số nguyên tố thứ $n$ tại https://t5k.org/nthp...index.php#nth. 

Bảng giá trị của dãy a_n.jpg

Một vài nhận xét (chỉ là những phóng đoán không chắc chắn) rút ra từ bảng thống kê sau:

1) Bắt đầu từ $n=2$ thì $a_n>1$. 

2) Bắt đầu từ $n=16$ thì $a_n>1,7$. Bắt đầu từ $n=61$ thì $a_n>1,8$. 

3) Dãy $a_n$ có xu hướng tăng và tiến đến $2$ nhưng bị "đứt gãy" tại một số điểm như $n=29$ hoặc $n=61$. 

4) Dưới đây là giá trị của $a_n$ tại $n$ bằng $1$ triệu, $2$ triệu tới $10$ triệu. 

$a_{1000000}=\frac{15485863+15485867}{15485917}\approx 1,999 993 284$ 

$a_{2000000}=\frac{32452843+32452867}{32452883}\approx 1,999 998 274$

$a_{3000000}=\frac{49979687+49979693}{49979737}\approx 1,999 998 119$

$a_{4000000}=\frac{67867967+67867979}{67867999}\approx 1,999 998 234$

$a_{5000000}=\frac{86028121+86028157}{86028221}\approx 1,999 998 094$

$a_{6000000}=\frac{104395301+104395303}{104395337}\approx 1,999 999 329$

$a_{7000000}=\frac{122949823+122949829}{122949839}\approx 1,999 999 789$

$a_{8000000}=\frac{141650939+141650963}{141650981}\approx 1,999 999 576$

$a_{9000000}=\frac{160481183+160481219}{160481221}\approx 1,999 999 751$

$a_{10000000}=\frac{179424673+179424691}{179424697}\approx 1,999 999 833$

Như ta thấy $a_{n}$ không tăng liên tục nhưng từ $n=6000000$ giá trị của $a_n$ dường như đã có xu hướng vượt lên mốc $1,999 999$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-05-2023 - 21:26

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết
✓  Lời giải

Từ định lý số nguyên tố ta có ước lượng $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n}{n \ln(n)} = 1,$$ (xem https://proofwiki.or...th_Prime_Number) suy ra $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = \lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)\ln(n+1)}{n\ln(n)}.$$

Mà $\lim_{n \to +\infty}\dfrac{n+1}{n} = 1$ và $$\lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} - 1\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln(n+1) - \ln(n)}{\ln(n)}\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln\tfrac{n+1}{n}}{\ln(n)}\right) = \lim_{n \to +\infty}\left(\frac{\ln\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)}{\ln(n)}\right) = 0$$ nên dễ thấy $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_{n+1}}{p_n} = 1.$$ Nói riêng, $$\lim_{n \to +\infty} \frac{p_n+p_{n+1}}{p_{n+2}} = 2.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-05-2023 - 02:01

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Chứng minh hay quá! Cảm ơn nmlinh16

 

Trong bài viết về ước lượng số nguyên tố thứ $n$ mà nmlinh16 gửi link còn chỗ lập luận gần cuối bài này mình chưa hiểu ạ:  

 

Từ $\lim_{n \to +\infty} \ln(p_n).\left( 1-\frac{\ln(n)}{\ln(p_n)}\right)=0$, ta suy ra $\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\frac{\ln(n)}{\ln(p_n)}\right)=0$ (do $\ln(p_n)\neq 0$). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-05-2023 - 03:27

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết
Chỗ đó là xét dãy đã cho cùng dãy $\frac{1}{\ln(p_n)}$, hai dãy cùng giới hạn bằng $0$ nên tích của chúng cũng có giới hạn bằng $0$.

Viết "vì $\ln(p_n) \neq 0$" như trong link không phải là một lời giải thích chuẩn!!

Chứng minh hay quá! Cảm ơn nmlinh16!

Trong bài viết về ước lượng số nguyên tố thứ $n$nmlinh16 gửi link còn chỗ lập luận gần cuối bài này mình chưa hiểu ạ:

Từ $\lim_{n \to +\infty} \ln(p_n).\left( 1-\frac{\ln(n)}{\ln(p_n)}\right)=0$, ta suy ra $\lim_{n \to +\infty} \left( 1-\frac{\ln(n)}{\ln(p_n)}\right)=0$ (do $\ln(p_n)\neq 0$).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 11-05-2023 - 12:48

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Lúc nãy vừa gặp Định đề Bertrand do perfectstrong giới thiệu tại topic này. Định đề phát biểu rằng $p_{n+1}<2p_n$. Đang mừng khi nghĩ có thể dùng đánh giá này để chứng minh $a_n \geq 1$. Thử áp dụng thì mình có được 

$p_n+p_{n+1}>\frac{1}{2}p_{n+1}+p_{n+1}=\frac{3}{2}p_{n+1}>\frac{3}{2}.\frac{1}{2}p_{n+2}=\frac{3}{4}p_{n+1}$. 

Rõ ràng là chưa được như mong muốn nhưng nó gợi ra cho mình một câu hỏi: liệu có một đánh giá nào tương tự nhưng chặt hơn Định đề Bertrand để chứng minh được $a_n \geq 1$ hay không? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 13-05-2023 - 00:48

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#6
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

Wiki có đánh giá sau

 

$n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1) < p_n < n(\ln(n)+\ln(\ln(n)))$ với $n > 6$.

Vì thế $a_n > \frac{n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1) + (n+1)(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))-1)}{(n+2)(\ln(n+2)+\ln(\ln(n+2)))}$ với $n > 6$. Bằng khảo sát hàm số chẳng hạn, ta có thể kiểm tra được $$\frac{n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1) + (n+1)(\ln(n+1)+\ln(\ln(n+1))-1)}{(n+2)(\ln(n+2)+\ln(\ln(n+2)))} > 1$$ với $n \ge 8$. Vì thế $a_n \ge 1$ với $n \ge 8$, và chỉ còn phải kiểm tra $a_1,a_2,\ldots,a_7$.

 

Lúc nãy vừa gặp Định đề Bertrand do perfectstrong giới thiệu tại topic này. Định đề phát biểu rằng $p_{n+1}<2p_n$. Đang mừng khi nghĩ có thể dùng đánh giá này để chứng minh $a_n \geq 1$. Thử áp dụng thì mình có được 

$p_n+p_{n+1}>\frac{1}{2}p_{n+1}+p_{n+1}=\frac{3}{2}p_{n+1}>\frac{3}{2}.\frac{1}{2}p_{n+2}=\frac{3}{4}p_{n+1}$. 

Rõ ràng là chưa được như mong muốn nhưng nó gợi ra cho mình một câu hỏi: liệu có một đánh giá nào tương tự nhưng chặt hơn Định đề Bertrand để chứng minh được $a_n \geq 1$ hay không? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 13-05-2023 - 00:59

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh