Gọi $p_n$ là số nguyên tố thứ $n$. Xét dãy số $(a_n)$ được xác định theo công thức $a_n=\frac{p_n+p_{n+1}}{p_{n+2}}.$
Kiểm tra xem 3 mệnh đề sau liệu có đúng hay không:
MỆNH ĐỀ 1: $a_{n}\geq 1$ với mọi $n$. Dấu "$=$" chỉ xảy ra khi $n=1$.
MỆNH ĐỀ 2: Không tồn tại hằng số $c<2$ sao cho $a_n<c$ với mọi $n$.
MỆNH ĐỀ 3: $ a_n\rightarrow 2$ khi $n\rightarrow \infty$.
Đây là 3 dự đoán của mình khi nghiên cứu tính chất số nguyên tố. Tuy nhiên mình thực sự không đử sức để làm.
Trong Mệnh đề 3, mình có lẽ đã hơi hàm hồ, vì thực không hiểu rõ khái niệm "giới hạn" liệu có áp dụng vào đây được không. Do đó mình đã đưa ra một dự đoán yếu hơn và dễ hiểu hơn là Mệnh đề 2.
Dưới đây là bảng tính toán của mình cho $100$ giá trị đầu tiên của dãy $a_n$. Do mình không biết lập trình nên đã lập bảng này hoàn toàn bằng máy tính điện tử. Mình tra cứu số nguyên tố thứ $n$ tại https://t5k.org/nthp...index.php#nth.
Một vài nhận xét (chỉ là những phóng đoán không chắc chắn) rút ra từ bảng thống kê sau:
1) Bắt đầu từ $n=2$ thì $a_n>1$.
2) Bắt đầu từ $n=16$ thì $a_n>1,7$. Bắt đầu từ $n=61$ thì $a_n>1,8$.
3) Dãy $a_n$ có xu hướng tăng và tiến đến $2$ nhưng bị "đứt gãy" tại một số điểm như $n=29$ hoặc $n=61$.
4) Dưới đây là giá trị của $a_n$ tại $n$ bằng $1$ triệu, $2$ triệu tới $10$ triệu.
$a_{1000000}=\frac{15485863+15485867}{15485917}\approx 1,999 993 284$
$a_{2000000}=\frac{32452843+32452867}{32452883}\approx 1,999 998 274$
$a_{3000000}=\frac{49979687+49979693}{49979737}\approx 1,999 998 119$
$a_{4000000}=\frac{67867967+67867979}{67867999}\approx 1,999 998 234$
$a_{5000000}=\frac{86028121+86028157}{86028221}\approx 1,999 998 094$
$a_{6000000}=\frac{104395301+104395303}{104395337}\approx 1,999 999 329$
$a_{7000000}=\frac{122949823+122949829}{122949839}\approx 1,999 999 789$
$a_{8000000}=\frac{141650939+141650963}{141650981}\approx 1,999 999 576$
$a_{9000000}=\frac{160481183+160481219}{160481221}\approx 1,999 999 751$
$a_{10000000}=\frac{179424673+179424691}{179424697}\approx 1,999 999 833$
Như ta thấy $a_{n}$ không tăng liên tục nhưng từ $n=6000000$ giá trị của $a_n$ dường như đã có xu hướng vượt lên mốc $1,999 999$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 10-05-2023 - 21:26