Chủ đề này có 3 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

[nhancccp]

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Dùng phép "nhân tung tóe" chắc cũng mất mấy tiếng,ngồi chờ lời giải đẹp

Ta có ${\color{Red} f(f(x))}=(x^2+x+1)^2+(x^2+x+1)+1=x^4+2x^3+4x^2+3x+3$

${\color{Red} f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^4+2(x^2+x+1)^3+4(x^2+x+1)^2+3(x^2+x+1)+3=x^8+4x^7+12x^6+22x^5+35x^4+38x^3+37x^2+21x+13$

${\color{Red} f(f(f(f(x)))}=(x^2+x+1)^8+4(x^2+x+1)^7+12(x^2+x+1)^6+22(x^2+x+1)^5+35(x^2+x+1)^4+38(x^2+x+1)^3+37(x^2+x+1)^2+21(x^2+x+1)+13$$=x^{16}+8x^{15}+40x^{14}+140x^{13}+390x^{12}+884x^{11}+1702x^{10}+2790x^9+3980x^8+4900x^7++5286x^6+4876x^5+3910x^4+2580x^3+1440x^2+567x+183$

${\color{Red} f(f(f(f(f(x)))))}=x^{32} + 16 x^{31} + 144 x^{30} + 920 x^{29} + 4620 x^{28} + 19208 x^{27} + 68348 x^{26} + 212732 x^{25} + 588380 x^{24} + 1462760 x^{23} + 3297580 x^{22} $$+ 6786000 x^{21} + 12814320 x^{20} + 22292560 x^{19} + 35837420 x^{18} + 53355230 x^{17} + 73679935 x^{16} + 94452240 x^{15} + 112430520 x^{14}+ 124216240 x^{13}$$+ 127251670 x^{12} + 120654560 x^{11} + 105615510 x^{10} + 85034690 x^9 + 62677680 x^8 + 42006568 x^7 + 25385078 x^6 + 13653832 x^5 + 6434290 x^4$$ + 2579820 x^3 + 849969 x^2 + 208089 x + 33673$

Vậy hệ số của $x^2$ trong đa thức $f(f(f(f(f(x)))))$ là $\mathbf{{\color{Red} \boxed{849969}}}$

[hxthanh]

Cho đa thức $f(x)=x^{2}+x+1$ . Tìm hệ số của $x^{2}$ trong đa thức $f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( f\left ( x \right ) \right ) \right ) \right ) \right )$

Đặt $f_n(x)=f(f(…f(x))…)$ (n lần)
Ta có $f_n(x)=f_{n-1}^2(x)+f_{n-1}(x)+1$
Do đó
$[x^2]f_n(x)=([x_1]f_{n-1}(x))^2+2([x^0]f_{n-1}(x).[x^2]f_{n-1}(x))+[x^2]f_{n-1}(x)$
$\qquad\; =([x_1]f_{n-1}(x))^2+(2[x^0]f_{n-1}(x)+1)[x^2]f_{n-1}(x)$
Vì vậy để tính được hệ số trên ta cần các hệ số bậc 1 và 0.
Hệ số bậc 0 là dãy
$[x^0]_{n\ge 1}\; : \{1,3,13,183,33673,…\}$
$([x^0]_n=[x^0]_{n-1}^2+[x^0]_{n-1}+1)$
Hệ số bậc 1 là dãy
$[x^1]_{n\ge 1}\; :\{1,3,21,567,208088,…\}$
$[x^1]_n=(2[x^0]_{n-1}+1)[x^1]_{n-1}$
Hệ số bậc 2 là dãy
$[x^2]_{n\ge 1}\; :\{1,4,37,1440,849969,…\}$

$(567)^2+(2\times 183+1)\times 1440=849969$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 04-02-2024 - 00:26

[Konstante]

Nói chung với một đa thức $g$ mà không biết trước dạng hiện, có thể tính toán các hệ số dựa trên sự tiệm cận, cụ thể như sau $$\begin{align*}[x^0]g &=  g(0) \\ [x^1]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0}{x} \\ [x^2]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1} {x^2} \\ \dots \end{align*}$$Từ đây với $g = f^{\circ^5}$ ta tính được $[x^0]g = 33673, [x^1]g = 208089, [x^2]g = 849969, [x^3]g = 2579820,\dots$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 04-02-2024 - 16:55