Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AB$ luôn đi qua 1 điểm cố định

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cho đường tròn $(O)$ với 1 tiếp tuyến $d$ có tiếp điểm là $H$. Hai điểm $X,Y$ di chuyển trên $d$ sao cho: $HX.HY=const$. Từ $X,Y$ kẻ 2 tiếp tuyến $XA,YB$ của $(O)$. ($A,B$ là tiếp điểm khác $H$).

a) Chứng minh $(OXY)$ luôn đi qua 2 điểm cố định

b) Chứng minh $AB$ luôn đi qua 1 điểm cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 11-05-2023 - 23:02


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bạn muốn nói tới $\overline{HX}.\overline{HY}$ hay sao?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Bạn muốn nói tới $\overline{HX}.\overline{HY}$ hay sao?

Đoạn thẳng có gạch trên đầu là sao ạ?



#4
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Đó là độ dài đại số, có thể âm hoặc dương. Bạn tham khảo Tài liệu chuyên toán Hình học 10 của Đoàn Quỳnh để biết thêm nhé.

Hiểu chung là độ dài có hướng của một véc-tơ, giúp giữ tương quan phương hướng giữa các đối tượng.

$HX, HY$ là những độ dài không có hướng, nên có thể sinh ra vấn đề như sau: bạn lấy một điểm $Y'$ đối xứng với $Y$ qua $H$, vậy thì $HX.HY = HX.HY'$, nhưng khi dựng hình bạn sẽ có hai trường hợp "có thể" rất khác nhau, nhất là khi liên quan tới điểm cố định.

Vậy thì độ dài đại số giúp giải quyết vấn đề này: nếu bạn đặt $\overline{HX}.\overline{HY}  > 0$ thì hiển nhiên $X,Y$ cùng hướng so với $H$, còn nếu $\overline{HX}.\overline{HY} < 0$ thì $H$ luôn nằm giữa $X, Y$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-05-2023 - 23:35

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#5
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bài này là phiên bản "ngược" của một bài toán khác: https://diendantoanh...g-tròn-cố-định/
Nên lời giải sau đây cũng "nương" theo dòng ý của bài toán đó.
==============
Đặt $k = \overline{HX}.\overline{HY}$. Vẽ đường tròn $(OXY)$ cắt $OH$ tại điểm thứ hai là $Z$.
Ta có $\overline{HO}.\overline{HZ} = \overline{HX}.\overline{HY}:$ hằng số nên $Z$ cố định.
Vẽ $AB$ cắt $OH$ tại $C$. Ta chứng minh $C$ cố định.

2023-05-12_09h20_50.png

Thật vậy, vẽ $OH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. $KB, KA$ lần lượt cắt $d$ tại $Y', X'$.
Dễ thấy $X,Y$ lần lượt là trung điểm $HX', HY'$. Để ý rằng $O$ là trung điểm $HK$, và ta có $O, X, Y, Z$ đồng viên, nên ta sẽ lấy thêm $Z'$ sao cho $Z'$ là trung điểm $HZ$.
Khi đó, $X',Y',Z',K$ lần lượt là ảnh của $X,Y,Z,O$ qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số 2, nên $K,X',Y',Z'$ đồng viên.
Vì thế \[\left( {Z'X';Z'K} \right) \equiv \left( {Y'X';Y'K} \right)\left( {\bmod \pi } \right)\]
Lại có $HB, HK$ lần lượt vuông góc với $Y'K, Y'H$ và $H,B,K,A$ đồng viên nên:
\[\left( {AK;AB} \right) \equiv \left( {HB;HK} \right) \equiv \left( {Y'B;Y'H} \right) \equiv \left( {Z'K;Z'X'} \right)\left( {\bmod \pi } \right)\]
Từ đó $C,A,X',Z'$ đồng viên, nên $\overline {KC} .\overline {KZ'}  = \overline {KA} .\overline {KX'}  = K{H^2}$: cố định. Mà $Z'$ cố định nên $C$ cũng cố định.
===============
Để ý là nếu vẽ $XA$ cắt $YB$ tại $D$ thì $D$ di chuyển trên một đường thẳng cố định. Bạn hãy thử chứng minh xem ;)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-05-2023 - 14:21

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#6
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Bài này là phiên bản "ngược" của một bài toán khác: https://diendantoanh...g-tròn-cố-định/
Nên lời giải sau đây cũng "nương" theo dòng ý của bài toán đó.
==============
Đặt $k = \overline{HX}.\overline{HY}$. Vẽ đường tròn $(OXY)$ cắt $OH$ tại điểm thứ hai là $Z$.
Ta có $\overline{HO}.\overline{HZ} = \overline{HX}.\overline{HY}:$ hằng số nên $Z$ cố định.
Vẽ $AB$ cắt $OH$ tại $C$. Ta chứng minh $C$ cố định.

attachicon.gif 2023-05-12_09h20_50.png

Thật vậy, vẽ $OH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$. $KB, KA$ lần lượt cắt $d$ tại $Y', X'$.
Dễ thấy $X,Y$ lần lượt là trung điểm $HX', HY'$. Để ý rằng $O$ là trung điểm $HK$, và ta có $O, X, Y, Z$ đồng viên, nên ta sẽ lấy thêm $Z'$ sao cho $Z'$ là trung điểm $HZ$.
Khi đó, $X',Y',Z',K$ lần lượt là ảnh của $X,Y,Z,O$ qua phép vị tự tâm $H$ tỉ số 2, nên $K,X',Y',Z'$ đồng viên.
Vì thế \[\left( {Z'X';Z'K} \right) \equiv \left( {Y'X';Y'K} \right)\left( {\bmod \pi } \right)\]
Lại có $HB, HK$ lần lượt vuông góc với $Y'K, Y'H$ và $H,B,K,A$ đồng viên nên:
\[\left( {AK;AB} \right) \equiv \left( {HB;HK} \right) \equiv \left( {Y'B;Y'H} \right) \equiv \left( {Z'K;Z'X'} \right)\left( {\bmod \pi } \right)\]
Từ đó $C,A,X',Z'$ đồng viên, nên $\overline {KC} .\overline {KZ'}  = \overline {KA} .\overline {KX'}  = K{H^2}$: cố định. Mà $Z'$ cố định nên $C$ cũng cố định.
===============
Để ý là nếu vẽ $XA$ cắt $YB$ tại $D$ thì $D$ di chuyển trên một đường thẳng cố định. Bạn hãy thử chứng minh xem ;)

Có cách giải THCS k ạ? chứ có một số định nghĩa em không hiểu lắm



#7
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bạn đã đăng ở Olympic rồi mà :D Dịch về THCS cũng được, nhưng sẽ mất tính tổng quát.

- "Đồng viên" = "tứ giác nội tiếp"

- Chỗ phép vị tự có thể thay bằng các đường thẳng song song để chứng minh bằng góc.

- Góc định hướng có thể thay bằng góc thường: ví dụ $(Z'X';Z'K)$ là góc tạo bởi đường thẳng $Z'X'$ và $Z'K$ theo hướng ngược kim đồng hồ, tức là $\angle Z'X'K$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh