Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $AEXY$ nội tiếp

- - - - - hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
thanhng2k7

thanhng2k7

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , $AH \perp BC $ tại $H$ , $HE \perp AB $ tại $E$ , $HF \perp AC $ tại $F$ . $X,Y$ lần lượt là tâm bàng tiếp của đỉnh $H$ với $\Delta HEF , \Delta HEB$ . Chứng minh $AEXY$ nội tiếp 


Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học ;)


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

2023-05-20_13h15_14.png

Gọi $D$ là giao điểm của $HX$ và phân giác trong của $\angle HAE$.

Ta có:

\begin{align*} \angle EXH & = {180^o} - \angle XEH - \angle EHX \\ & = {180^o} - \left( {{{90}^o} + \frac{1}{2}\angle FEH} \right) - {45^o} \\ & = {45^o} - \frac{1}{2}\angle FAH \\ & = \frac{1}{2}\left( {{{90}^o} - \angle FAH} \right) = \angle EAD\end{align*}

Do đó $A,X,E,D$ đồng viên. (1)

Vẽ $YE$ cắt $AD$ tại $G$. Chú ý rằng $AG \perp HY$ và $EG \perp HD$ nên $G$ cũng là trực tâm của $\Delta HDY$.

Vì thế $HG \perp YD$. Mà dễ thấy $HG \parallel YB \Rightarrow YB \perp YD$.

Vậy nên \[\angle EYB = {90^o} - \angle DYE\]

Ta lại có

\begin{align*}\angle EYB & = {180^o} - \angle YEB - \angle YBE \\ & = {180^o} - \frac{1}{2}\left( {{{90}^o} + \angle BHE} \right) - {45^o} \\ &= {90^o} - \frac{1}{2}\angle BHE \\ &= {90^o} - \frac{1}{2}\angle EAH \\ & = {90^o} - \angle EAD\end{align*}

Từ đó, ta có $\angle DYE = \angle DAE \Rightarrow Y,E,D,A$ đồng viên. (2)

Từ (1) và (2), ta có đpcm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh