Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , $AH \perp BC $ tại $H$ , $HE \perp AB $ tại $E$ , $HF \perp AC $ tại $F$ . $X,Y$ lần lượt là tâm bàng tiếp của đỉnh $H$ với $\Delta HEF , \Delta HEB$ . Chứng minh $AEXY$ nội tiếp
#1
Đã gửi 12-05-2023 - 21:48
Tất cả mọi thứ đều có thể chứng minh bằng Toán học
#2
Đã gửi 20-05-2023 - 18:15
Gọi $D$ là giao điểm của $HX$ và phân giác trong của $\angle HAE$.
Ta có:
\begin{align*} \angle EXH & = {180^o} - \angle XEH - \angle EHX \\ & = {180^o} - \left( {{{90}^o} + \frac{1}{2}\angle FEH} \right) - {45^o} \\ & = {45^o} - \frac{1}{2}\angle FAH \\ & = \frac{1}{2}\left( {{{90}^o} - \angle FAH} \right) = \angle EAD\end{align*}
Do đó $A,X,E,D$ đồng viên. (1)
Vẽ $YE$ cắt $AD$ tại $G$. Chú ý rằng $AG \perp HY$ và $EG \perp HD$ nên $G$ cũng là trực tâm của $\Delta HDY$.
Vì thế $HG \perp YD$. Mà dễ thấy $HG \parallel YB \Rightarrow YB \perp YD$.
Vậy nên \[\angle EYB = {90^o} - \angle DYE\]
Ta lại có
\begin{align*}\angle EYB & = {180^o} - \angle YEB - \angle YBE \\ & = {180^o} - \frac{1}{2}\left( {{{90}^o} + \angle BHE} \right) - {45^o} \\ &= {90^o} - \frac{1}{2}\angle BHE \\ &= {90^o} - \frac{1}{2}\angle EAH \\ & = {90^o} - \angle EAD\end{align*}
Từ đó, ta có $\angle DYE = \angle DAE \Rightarrow Y,E,D,A$ đồng viên. (2)
Từ (1) và (2), ta có đpcm.
- thanhng2k7 và Leonguyen thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học, hình học phẳng |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh rằng AD là phân giác góc BACBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh