Chủ đề này có 4 trả lời

[thvn]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), với trực tâm H. AH cắt (O) tại M, BH cắt AC tại N, CH cắt AB tại P. MN cắt đường tròn (O) tại K và BK cắt PN tại I. 

Chứng minh rằng I là trung điểm của PN.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 12-05-2023 - 21:53
Tiêu đề

[huytran08]

Trong quá trình giải bài này em tìm được 2 cách giải.Cách thứ nhất tuy dài hơn nhưng mang tính mở rộng còn cách 2 chỉ áp dụng cho bài này.Nhưng thôi,đăng cách 2 cho gọn:

 Gọi $J$ là hình chiếu của $N$ lên $AB$

 Ta có: $\widehat{INB}=\widehat{BAM}=\widehat{BKN}$ nên $\Delta BNI\sim \Delta BKN \Rightarrow BN^{2}=BI.BK$

  Mà $BN^{2}=BJ.BA$ nên $BJ.BA=BI.BK$ suy ra $AJIK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PJI}=\widehat{AKB}=\widehat{ACB}=\widehat{APN}$ 

          $\Rightarrow IJ=PI \Rightarrow IP=IN \Rightarrow$ $I$ là trung điểm $PN$(đpcm)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 24-05-2023 - 14:37

[perfectstrong]

Mà $BN^{2}=BJ.BA$ nên $BJ.BA=BI.BK$ suy ra $AJIK$ nội tiếp $\Rightarrow \textcolor{red}{\widehat{PIJ}}=\widehat{AKB}=\widehat{ACB}=\widehat{APN}$

Chỗ này là $\angle PJI$ chứ nhỉ? Nhưng nói chung kết quả vẫn đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-05-2023 - 14:24

[thvn]

Trong quá trình giải bài này em tìm được 2 cách giải.Cách thứ nhất tuy dài hơn nhưng mang tính mở rộng còn cách 2 chỉ áp dụng cho bài này.Nhưng thôi,đăng cách 2 cho gọn:

 Gọi $J$ là hình chiếu của $N$ lên $AB$

 Ta có: $\widehat{INB}=\widehat{BAM}=\widehat{BKN}$ nên $\Delta BNI\sim \Delta BKN \Rightarrow BN^{2}=BI.BK$

  Mà $BN^{2}=BJ.BA$ nên $BJ.BA=BI.BK$ suy ra $AJIK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PJI}=\widehat{AKB}=\widehat{ACB}=\widehat{APN}$ 

          $\Rightarrow IJ=PI \Rightarrow IP=IN \Rightarrow$ $I$ là trung điểm $PN$(đpcm)

 

Mạo muội đoán mò, cách còn lại chắc bạn sẽ sử dụng đến một vài tính chất của trực tâm như:

(ở đây gọi E là giao điểm HM và BC)

+ E là trung điểm của HM

+ NB là phân giác của góc PNE

và 2 lần xét tam giác đồng dạng g.g rồi c.g.c      

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 25-05-2023 - 22:28

[huytran08]

Mạo muội đoán mò, cách còn lại chắc bạn sẽ sử dụng đến một vài tính chất của trực tâm như:

(ở đây gọi E là giao điểm HM và BC)

+ E là trung điểm của HM

+ NB là phân giác của góc PNE

và 2 lần xét tam giác đồng dạng g.g rồi c.g.c      

thầy đoán trúng quá,cách đấy hơi dài nên em đăng cách còn lại lên