Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{1}{CD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Xin gửi tới các em HS bài toán của thầy Nguyễn Bá Đang (Hội Toán học Hà Nội - HMS) đăng trên Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) - mình đã xin phép thầy chia sẻ lại:

 

Bài toán (Nguyễn Bá Đang):

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\angle ABC= 2 \angle ACB$, $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $ \angle ACD = 2 \angle CAD$. Chứng minh

$\frac{1}{CD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 13-05-2023 - 14:05
Soạn thảo công thức bằng LaTex

N.K.S - Learning from learners!


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Xin gửi tới các em HS bài toán của thầy Nguyễn Bá Đang (Hội Toán học Hà Nội - HMS) đăng trên Romantics of Geometry (Ρομαντικοί της Γεωμετρίας) - mình đã xin phép thầy chia sẻ lại:

 

Bài toán (Nguyễn Bá Đang):

Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn $\angle ABC= 2 \angle ACB$, $D$ trên cạnh $BC$ sao cho $ \angle ACD = 2 \angle CAD$. Chứng minh

$\frac{1}{CD} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}$.

 

Bài này có thể giải bằng cách dùng lượng giác. Em không thích cách này lắm nhưng cứ trình bày trước rồi nghĩ cách vẽ hình phụ sau. 

 

CÁCH 1. Đặt $\angle CAD= \alpha$. Từ giả thiết bài toán ta có $\angle ACB=2 \alpha$ và $\angle ABC=4\alpha$. Còn $ADB$ là góc ngoài của tam giác $ACD$ nên $\angle ADB=3\alpha.$

Trong tam giác $ACD$ ta có $\frac{CD}{AD}=\frac{\sin \alpha}{\sin 2\alpha}$, còn trong tam giác $ABD$ ta có $\frac{AB}{AD}=\frac{\sin 3\alpha}{\sin 4\alpha}$. Do đó

$\frac{CD}{AB}=\frac{\sin \alpha}{\sin2 \alpha}.\frac{\sin 4\alpha}{\sin 3\alpha}$.

Lại xét tam giác $ACD$ ta có

$\frac{CD}{AC}=\frac{\sin \alpha}{\sin (180^{\circ}-3\alpha)}=\frac{\sin \alpha}{\sin 3\alpha}$. 

Vì vậy

$\frac{CD}{AC}+\frac{CD}{AB}$

$=\frac{\sin \alpha}{\sin 3\alpha}.(1+\frac{\sin 4\alpha}{\sin 2\alpha}) $ 

$=\frac{\sin \alpha}{\sin 3\alpha}.(1+2\cos 2\alpha)$ (do $\sin 4\alpha=2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$)

$=\frac{\sin \alpha.(3-4\sin^2 \alpha)}{\sin 3\alpha}$ (do $\cos 2\alpha=1-2 \sin^2 \alpha$)

$=1$. 

Ta suy ra điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-05-2023 - 19:39

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài hình .jpg

 

CÁCH 2. Trên cạnh BC ta lấy điểm $E$ sao cho $AD$ là tia phân giác của góc $EAC$. 

Khi đó, từ giả thiết của bài toán ta dễ thấy hai điều: 

(1) Tam giác $AEC$ cân tại $E$

(2) Tam giác $ABE$ cân tại $A$. 

Từ đó suy ra

(3) $AB=AE=EC$. 

Bây giờ, ta thấy rằng

$\frac{CD}{AB}=\frac{CD}{EC}$

và 

$\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AE}=\frac{DE}{EC}$ (do $AD$ là tia phân giác của góc $EAC$).

Từ đó suy ra ngay

$\frac{CD}{AB}+\frac{CD}{AC}=1$

và ta có điều phải chứng minh. 

____

Bài này em cảm giác là còn có thể tìm được cách giải nữa sử dụng đường tròn hay tam giác đồng dạng ạ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-05-2023 - 19:39

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Lời giải dùng đường tròn đây ạ. 

 

Dang-DDTH-Thang5Ngay16-1.jpg

 

CÁCH 3.

Đặt $\angle CAD=\alpha$ khi đó ta có $\angle ACB=2\alpha$ và $\angle ABC=4\alpha$. 

 

Dựng đường đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đoạn thẳng $AC$ tại $E$. 

 

Do tứ giác ABDE nội tiếp nên $\angle DEC=\angle DBA=4 \alpha$. Mà $DEC$ là góc ngoài của tam giác $AED$ nên ta có ngay $\angle ADE=3\alpha$. 

Như vậy tia $DA$ là tia phân giác ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $DEC$. 

Do đó $\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AE}$. $(1)$

Bây giờ, chú ý rằng tứ giác $ABDE$ nội tiếp và $DA$ là tia phân giác của $EDB$ nên ta có $AB=AE$.

Suy ra $\frac{CD}{AB}=\frac{CD}{AE}$. $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra điều phải chứng minh tương đương với

$CD+DE=AE$. 

Để chứng minh đẳng thức trên đúng ta vẽ đường tròn tâm $E$ bán kính $DE$ cắt đoạn $AC$ tại $F$ nằm giữa $A$ và $E$.  

Do $\angle DEC=4\alpha$ và tam giác $FED$ cân tại $E$ nên ta có ngay $\angle EFD=2\alpha$. 

Tiếp theo, ta thấy $\angle FAD=\alpha$ và $EFD$ lại là góc ngoài của tam giác $FAD$ nên ta có tam giác giác $FAD$ cân tại F. 

Mặt khác, cũng vì $\angle EFD=2 \alpha$ nên ta có tam giác $FDC$ cân tại $D$. 

Như vậy, cuối cùng ta có $DE=EF$ (tam giác $EFD$ cân tại $E$) và $AF=DF=CD$ (tam giác $FAD$ cân tại $F$ và tam giác $FDC$ cân tại $D$). 

Do đó $AE=AF+EF=CD+DE$.

 

Bài toán được chứng minh xong.  

_______

Bài này vẫn còn một cách nữa đó ạ, nhưng nó khá đặc biệt nên khó nhìn ra. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-05-2023 - 21:56

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Em xin gửi nốt cách chứng minh nữa ạ. Chắc giờ...hết cách rồi đó ạ! ^^! 

 

Dang-DDTH-Thang5Ngay16-3.jpg

CÁCH 4. 

Trước hết, ta tạo ra các hình phụ. Xét đường tròn tâm $A$ bán kính $AB$. Qua $A$ ta kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt đường tròn đó tại $E$.

Gọi $G$ là giao điểm của $AC$ và $BE$; $F$ là giao điểm của $AD$ và $EC$ kéo dài. 

 

Thêm nữa, để cho tiện ký hiệu, ta đặt $\angle DAC=\alpha$, khi đó $\angle ABC=4\alpha$ và $ \angle ACB=2\alpha$. 

 

Bây giờ, ta vào phần chính của chứng minh.

 

Ta có $\angle ABE=\angle AEB$ ( tam giác $ABE$ cân tại $A$) và $\angle AEB=\angle EBC$ (do $AE$ song song $BC$). Do đó $\angle ABE=\angle EBC=2\alpha$. 

Tam giác $GBC$ khi đó cân tại $G$, và kết hợp với $AE$ song song $BC$ ta có ngay tam giác $AGE$ cũng cân tại $G$.

Từ đây dễ thấy tam giác $GAB$ bằng tam giác $GEC$ (c.g.c). 

Do vậy $AB=EC=AE$. $(1)$ 

 

Tiếp theo, dễ thấy $\angle ECA=2\alpha$, mà đây là góc ngoài của tam giác $ACF$ có $\angle CAF=\alpha$ vì thế ta phải có tam giác $ACF$ cân tại $C$. 

Do vậy, $AC=CF$. $(2)$ 

 

Cuối cùng, kết hợp $(1)$ và $(2)$, cùng Hệ quả định lý Thales ta sẽ có dãy tỉ lệ thức 

$\frac{CD}{AB}=\frac{CD}{AE}=\frac{CF}{EF}$

và 

$\frac{CD}{AC}=\frac{CD}{CF}=\frac{AE}{EF}=\frac{CE}{EF}$. 

Ta suy ra điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 16-05-2023 - 22:18

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#6
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Đọc lại chứng minh em mới thấy:
Cách 1. 0 điểm phụ.
Cách 2. 1 điểm phụ 
Cách 3. 2 điểm phụ 
Cách 4. 3 điểm phụ 
Có lẽ chính bởi số điểm phụ nhiều nhất nên cách 4 cũng cần nhiều thời gian tìm nhất.

Cảm ơn thầy @thvn đã giới thiệu một bài hình hay ạ!

 

_____

 

Và còn nữa: 

Cách 2: 1 điểm phụ, tương ứng 1 tam giác cân tạo thành. 

Cách 3: 2 điểm phụ, tương ứng 2 tam giác cân tạo thành. 

Cách 4: 3 điểm phụ, tương ứng 3 tam giác cân tạo thành. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 17-05-2023 - 08:33

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#7
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Thế hệ 7x,8x đã từng tham gia giải bài trên Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ thì chắc không ai là không biết Thầy Nguyễn Bá Đang với những bài hình học hay, rất đặc trưng.

Thầy quê Hải Dương, giờ ở Hà Nội và đang sinh hoạt tại HMS, tuổi đã cao nhưng vẫn rất say mê với việc "sáng tác HÌNH HỌC" và những tác phẩm này thì search google hầu như không ra kết quả, điều đó thực sự tốt cho HS bây giờ!

Hi vọng thời gian tới tôi sẽ xin được nhiều bài để chia sẻ cùng bạn bè yêu toán trên cả nước.

 

Cảm ơn bạn HaiDangPham đã đưa ra những lời giải tuyệt vời để các em HS có thể tham khảo  ~O)  ~O)  ~O)


N.K.S - Learning from learners!


#8
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Gần đây em cũng mới mua một cuốn sách của thầy Nguyễn Bá Đang: 279 bài toán hình học phẳng Olympic các nước. Cuốn này mới phát hành bởi NXB Giáo Dục năm 2021. 

*

Em rất thích những bài hình phẳng kiểu như bài trên với tam giác và các số đo đặc biệt. Đợt mới tham gia diễn đàn có giải một bài như vậy, kiến thức thì chỉ dừng ở lớp 7, nhưng cần tạo ra nhiều điểm phụ, và lời giải mà viết chi tiết cũng tương đối phức tạp chứ không dễ.

 

Bài đó ở đây. Hình minh hoạ của tác giả đề xuất đã bị lỗi. Nói chung nó đơn giản thế này: 

 

Cho tam giác ABC. Lấy D thuộc cạnh BC, E thuộc cạnh AC. Biết rằng 

$\angle ACB=40^{\circ}, \angle BAD=70^{\circ}, \angle CAD=30^{\circ}, \angle EBC=10^{\circ}.$

Tính $\angle BED$. 

 

Hồi em còn là học sinh lớp 7, có thể nói những bài toán kiểu này là quá khó. Nhưng chính những ngày ngồi đau đầu nát óc để nghĩ ra lời giải đã để lại dấu ấn không thể mờ được trong tâm trí của cậu học trò. Sau này lớn lên nhớ về Toán thì luôn nhớ đầu tiên tới những bài toán hình lớp 7 ngày ấy.  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 17-05-2023 - 10:04

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#9
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 

Hi vọng thời gian tới tôi sẽ xin được nhiều bài để chia sẻ cùng bạn bè yêu toán trên cả nước.

 

Dạ, mong được thầy chia sẻ thêm nhiều bài hình hay ạ ^^! 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh