Chủ đề này có 1 trả lời

[QuocMinh2k8]

Cho (O;R) và P cố định khác O (OP<R). 2 dây AB và CD thay đổi sao cho AB vuông góc CD tại P. Từ P kẻ PM vuông góc BD tại M, PN vuông góc BC tại N. Tia NP cắt AD tại F. Gọi E là trung điểm AC.

CM: Nếu AB.CD Max thì O,P,E thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 14-05-2023 - 21:20

[QuocMinh2k8]

Lời giải

Kẻ OI, OK vuông góc AB, CD $\Rightarrow$ I,K là trung điểm AB,CD

CM đc: OIPK là hình chữ nhật

$\Rightarrow$ IK=OP ko đổi

Có:

$AB.CD\leq \frac{AB^{2}+CD^{2}}{2}=\frac{4(AI^{2}+CK^{2})}{2}=2(OA^{2}-OI^{2}+OC^{2}-OK^{2})=2(2R^{2}-IK^{2})=2(2R^{2}-OP^{2})$ ko đổi

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow AB=CD$

Khi đó $\Delta AOB=\Delta DOC(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{ODC}$

$\Rightarrow$ ADOP là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AOP}=\widehat{ADP}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\widehat{AOE}$ (vì $\Delta AOC$ cân tại O có OE là đường cao)

Mà $\widehat{AOE}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AOP}+\widehat{OAE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow$ OP vuông góc AC

Mà OE vuông góc AC

$\Rightarrow$ O,P,E thẳng hàng. (ĐPCM)