Đến nội dung

Hình ảnh

Hướng dẫn giải 1 số bài toán khó trong Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt I, năm 2023


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết
Câu IV(toán điều kiện): Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài các cạnh $AB = DC = 4cm, AD = CB = 5cm$. Cho 9 điểm phân biệt đôi một bên trong hình chữ nhật. Chứng minh rằng có tồn tại một tam giác có 3 đỉnh thuộc tập M gồm 4 đỉnh A, B, C, D và 9 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng $1 cm^{2}$.
Lời giải:
Chúng ta sử dụng phương pháp phân chia hình vuông đã cho thành các tam giác có diện tích không giao nhau như sau.
Kí hiệu các điểm đã cho là $A_1, A_2,…,A_{20}$, chọn điểm $A_1$ chẳng hạn, khi đó hình vuông sẽ được phân thành 4 tam giác như hình vẽ.
File gửi kèm  de-thi-thu-khtn-dot-1-2023 (1).png   74.87K   0 Số lần tải
Xét  điểm $A_2$, khi đó điểm này chỉ có thể nằm trong một tam giác bất kỳ hoặc nằm trên một cạnh nào đó cạnh $A_1A, A_1B, A_1C, A_1D$. Bằng cách nối như hình vẽ ta thấy trong mọi trường hợp thì số tam giác đều tăng lên 2. Thực hiện quá trình lặp tương tự với các điểm còn lại, cuối cùng ta thu được tổng số tam giác là: $4 + 2(9 – 1) = 20$.
Ký hiệu diện tích các tam giác lần lượt là $S_1, S_2,…,S_{20}$ và luôn tồn tại một tam giác có diện tích nhỏ nhất. Đặt đó là $S$, để ý rằng diện tích hình vuông ban đầu là 20 nên ta được:
$$20 = S_1 +  S_2 + … + S_{20} \ge 20 S \Rightarrow S \le 1$$
Bài toán được chứng minh.
 
Câu IV(toán chuyên): Xét 20 số $1 \le a_{1} < a_{2} < … < a_{20} \le 70$ nguyên dương. Chứng minh rằng trong các hiệu $a_{k} – a_{j} (1 \le j < k \le 20)$ có ít nhất 4 số bằng nhau.
Lời giải:
Ta xét 19 số nguyên dương $a_{20} – a_{19}, a_{19} – a_{18}, a_{18} – a_{17},…, a_2 – a_1$ và giả sử phản chứng rằng không có 4 số nào bằng nhau. 
Ký hiệu và sắp xếp lại các số đó dưới dạng: $b_1 \le b_2 \le b_3 \le \ldots \le b_{19}$.
Suy ra $1 \le b_1 \le b_2 \le b_3 \Rightarrow 2 \le b_4 \le b_5 \le b_6$ (vì ví dụ $b_4 = 1$ thì $b_1 = b_2 = b_3 = b_4 = 1$), tương tự $\Rightarrow 3 \le b_7 \le b_8 \le b_9 \Rightarrow 4 \le b_{10}\le b_{11} \le b_{12} \Rightarrow 5 \le b_{13} \le b_{14} \le b_{15} \Rightarrow 6 \le b_{16} \le b_{17} \le b_{18} \Rightarrow 7 \le b_{19}$.
Khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + \ldots + b_{19} = (b_1 + b_2 + b_3) + (b_4 + b_5 + b_6) +\ldots + (b_{16} + b_{17} + b_{18}) + b_{19}\ge 3(1 + 2 + \ldots + 6) + 7 = 70$. 
Trong khi đó $b_1 + b_2 + b_3 + …+ b_{19} = a_{20} – a_1 \le 70 – 1 = 69$: Mâu thuẫn!
Vậy điều giả sử là sai, đồng nghĩa với bài toán được chứng minh.

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 15-05-2023 - 15:23
LaTeX

N.K.S - Learning from learners!


#2
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Cảm ơn bạn @perfectstrong  ~O)  ~O)  ~O) đã sửa giúp để bài viết rõ ràng, mạch lạc hơn

Tôi soạn ra word dạy cho HS rồi copy vào thôi chứ nghĩ đến gõ latex là sợ  :(  :(  :(


N.K.S - Learning from learners!


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4964 Bài viết

Cảm ơn bạn @perfectstrong  ~O)  ~O)  ~O) đã sửa giúp để bài viết rõ ràng, mạch lạc hơn

Tôi soạn ra word dạy cho HS rồi copy vào thôi chứ nghĩ đến gõ latex là sợ  :(  :(  :(

Thực ra LaTeX không đáng sợ lắm đâu thầy :D Em thấy thầy đã có sử dụng phần nào trong bài rồi, chỉ cần chú ý thêm chút là sẽ hoàn thiện.

Ví dụ, thay vì viết

a $\le$ b

để có a $\le$ b thì thầy hãy "gộp" luôn những vế liên quan vào:

$a \le b$

Kết quả $a \le b$ sẽ đẹp hơn hẳn. Thầy đọc sơ qua chủ đề sau nhé

https://diendantoanh...-trên-diễn-đàn/

Diễn đàn có sẵn công cụ để gõ LaTeX thuận tiện hơn.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh