Chủ đề này có 3 trả lời

[Vu Tien Thanh]

Xét các số phức thỏa mãn $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3|$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z-3|. Giá trị của biểu thức $3M^{2}-4m^{2}$ là?

[Le Tuan Canhh]

Lời giải

Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$

Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$

Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$

+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$ 

+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$

$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$

[perfectstrong]

Ta có : $|z^{2}-6z-i(3+5i)|=4|z-3| \Leftrightarrow |(z-3)^{2}+(-4-3i))|=4|z-3|$

Áp dụng : $|z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}||$

Ta được : $4|z-3|\geq ||z-3|^{2}-5|$

+) TH1: $4|z-3|\geq |z-3|^{2}-5\Leftrightarrow 0\leq |z-3|\leq 5$ 

+) TH2: $4|z-3|\geq 5-|z-3|^{2}\Leftrightarrow |z-3|\geq 1$

$\Rightarrow M=5 ; m=1 \rightarrow 3M^{2}-4m^{2}=71$

Bạn chỉ ra thêm dấu "=" cho $M,m$ nữa là đủ điểm

[Le Tuan Canhh]

Dấu "=" của $ |z_{1}+z_{2}|\geq ||z_{1}|-|z_{2}|| $ là $z_{1}=kz_{2}$ ( với $k\leq 0$ )

 

Để đạt max $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} | z-3|=5 & \\ (z-3)^{2}=k(-4-3i) ;( k \leq 0 )& \end{matrix}\right.$ $\rightarrow k=-5$

Tìm được $z=3+\frac{3\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{10}}{2}i$ và $z=3-\frac{3\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{2}i$

Tương tự . 

Để đạt min , $z=3+\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}i ; z=3-\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}i$