Chủ đề này có 1 trả lời

[PhuongTha0]

Chứng minh bao đóng của một tập bị chặn cũng là tập bị chặn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 16-05-2023 - 03:29

[vutuanhien]

Chứng minh bao đóng của một tập bị chặn cũng là tập bị chặn.

Mình giả định là tập bị chặn trong một không gian metric bất kỳ để lời giải tổng quát nhất (nếu là $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ thì thay metric bởi $\left|\cdot\right|$). Gọi $A$ là một tập bị chặn trong $(X, d)$. Như vậy tồn tại $x_{0}\in A$ và $N>0$ sao cho $d(x, x_{0})<N$ với mọi $x\in A$. Xét $y\in \overline{A}$ bất kỳ. Dùng tính chất của bao đóng là mọi lân cận của $y$ đều giao $A$, tồn tại $x\in B_{1}(y)\cap A$. Khi đó 

$$d(y, x_{0})\le d(y, x)+d(x, x_{0})<1+N,$$

nên $\overline{A}$ là tập bị chặn.