Đối với dạng toán này, rất nhiều học sinh nhất là ở bậc THCS khi gặp còn bỡ ngỡ và lúng túng vì trong chương trình SGK chưa đề cập nhiều về cách giải. Mấu chốt vẫn là đánh giá, sử dụng thành thạo các bất đẳng thức thông qua biến đổi cơ bản về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm(bình phương, trị tuyệt đối…) hoặc thông qua các bất đẳng thức cổ điển quen thuộc như Cauchy, Bunhiacopxi, Svác–xơ…
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $f(x,y,z,\ldots)$ chúng ta phải tuân thủ và thực hiện đầy đủ 3 bước:
Bước 1: Tìm cận trên $A$ mà $f(x, y, z, \ldots ) \le A$ với mọi $x, y, z, \ldots$.
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},\ldots)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},\ldots) = A$.
Bước 3: Kết luận GTLN của biểu thức là $A$.
2. Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $f(x,y,z,\ldots)$ cũng làm như vậy:
Bước 1: Tìm cận dưới $B$ mà $f(x, y, z,\ldots) \ge B$ với mọi $x, y, z,\ldots$
Bước 2: Chỉ ra 1 bộ $(x_{0}, y_{0}, z_{0},\ldots)$ mà $f(x_{0}, y_{0}, z_{0},\ldots) = B$.
Bước 3: Kết luận GTNN của biểu thức là $B$.
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
Dạng toán này rất hay gặp trong đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên... những năm gần đây. Thường dưới dạng bất đẳng thức hoặc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất…có điều kiện. Để làm được đòi hỏi học sinh phải có kinh nghiệm, tư duy nhậy bén, tinh tế và sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức cơ bản, các biến đổi cơ bản.
Đặc biệt lưu ý: đây là dạng bài khó và nếu biến đổi quá đà rất dễ dẫn đến mất phương hướng trong việc đi tìm lời giải.
1. $a^2 \ge 0$ với mọi $a \in \mathbb R$.
2. Nếu $a \in [0; 1]$ thì: $a^m \le a^n$ với mọi $m, n \in \mathbb N$ và $m \ge n$.
3. Nếu $a \in [–1; 1]$ thì: $a^2 \le |a|$.
4. $|a + b| \le |a| + |b|$ với mọi $a, b \in \mathbb R$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a.b \ge 0$.
5. $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}$ với mọi $a, b \in \mathbb R^+$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a.b = 0$.
6. Bất đẳng thức tam giác: Cho $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác, khi đó $|b – c| < a < b + c$
7. Nếu $a \le x \le b$ thì $(x – a)(x – b) \le 0$. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = a$ hoặc $x = b$.
Lưu ý:
Nếu thiếu một trong các bước trên thì lời giải không đầy đủ, thậm chí cho kết quả sai! Đã có rất nhiều học sinh phân tích $x^{4} + x^{2} + 1 = \left(x^{2}+\frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4}$ từ đó kết luận GTNN của biểu thức $x^{4} + x^{2} + 1$ là $\frac{3}{4}$!
Ngoài các các biến đổi cơ bản thì phương pháp đổi biến cũng hay được sử dụng để đưa về những bài toán quen thuộc với điều kiện dễ chịu hơn. Cụ thể như sau:
* Nếu bài toán cho $a \in [0; 2]$ thì nên đặt $x = a – 1$ hoặc $a \in [3; 5]$ thì đặt $x = a – 4$. Mục đích để quy về $x \in [–1; 1]$ khi đó $x^2 ≤ |x|$.
* Nếu điều kiện cho $a \ge 2; b \ge 3; \ldots$ thì đặt $a = x + 2; b = y + 3$. Mục đích để quy về chung khoảng $x, y \ge 0$ khi đó việc sử dụng điều kiện sẽ thống nhất và dễ giải hơn!
* Nếu điều kiện và dạng bất đẳng thức đối xứng(vai trò các biến như nhau) thì ta có thể giả sử $a \le b \le c \ldots$ hoặc $x \le y \le z \ldots$ mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán hoặc chuẩn hóa về điều kiện $a + b + c = 1, x + y + z = 1$ nếu cần.
Chúc các em HS ôn luyện thật tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi vào 10 hoặc các trường CĐ, ĐH sắp tới!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-05-2023 - 17:08
LaTeX
