Đến nội dung

Hình ảnh

$a$, $b$, $c>0$, $a+b+c\geqslant ab+bc+ca.$ Chứng minh $\sum \frac{ab}{a+b} \leqslant \frac{3}{2}.$


Lời giải huytran08, 09-06-2023 - 16:03

Ta sẽ chứng minh:$ \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$

 Thật vậy:$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \sum \frac{ab}{a+b} \right )\leq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)$

               $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$ (luôn đúng)

         $ \Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\leq \frac{3}{2}$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ (thỏa mãn)

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
HuyCubing

HuyCubing

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $a+b+c\geqslant ab+bc+ca.$ Chứng minh rằng $$\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\leqslant \dfrac{3}{2}.$$



#2
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
✓  Lời giải

Ta sẽ chứng minh:$ \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$

 Thật vậy:$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)\left ( \sum \frac{ab}{a+b} \right )\leq \frac{3}{2}(ab+bc+ac)$

               $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$ (luôn đúng)

         $ \Rightarrow \sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}.\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}\leq \frac{3}{2}$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ (thỏa mãn)


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh