Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max của $P=\left ( 1-a \right )^{3}+\left ( 1-b \right )^{3}+\left ( 1-c \right )^{3}+\frac{1}{4}$


Lời giải Leonguyen, 17-05-2023 - 22:21

Với ba số $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$ (đây là kết quả quen thuộc xin không chứng minh ở đây). Từ giải thiết đề cho ta suy ra được $(1-a)+(1-b)+(1-c)=0,$ do đó $(1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3$ $=3(1-a)(1-b)(1-c)$ $=3(a-1)(b-1)(1-c)$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c,$ suy ra $a\geq 1,$ $c\leq 1$.

Nếu $b<1$ thì $3(a-1)(b-1)(1-c)< 0.$

Nếu $b\geq 1$ thì áp dụng BĐT $xy\leq\frac{1}{4}(x+y)^2$ ta có  $3(a-1)(b-1)(1-c)\leq 3\cdot\frac{1}{4}(a+b-2)^2(1-c)=\frac{3}{4}(1-c)^2(1-c)=\frac{3}{4}(1-c)^3\leq\frac{3}{4}.$

Từ đây suy ra được $P=(1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3+\frac{1}{4}\leq 1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a-1=b-1,c=0$ hay $a=b=\frac{3}{2}, c=0$.

Vậy $\max A=1\Leftrightarrow (a,b,c)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)$ và các hoán vị của nó.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ , a+b+c=3

Tìm Max của $P=\left ( 1-a \right )^{3}+\left ( 1-b \right )^{3}+\left ( 1-c \right )^{3}+\frac{1}{4}$


"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết
✓  Lời giải

Với ba số $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$ (đây là kết quả quen thuộc xin không chứng minh ở đây). Từ giải thiết đề cho ta suy ra được $(1-a)+(1-b)+(1-c)=0,$ do đó $(1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3$ $=3(1-a)(1-b)(1-c)$ $=3(a-1)(b-1)(1-c)$.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c,$ suy ra $a\geq 1,$ $c\leq 1$.

Nếu $b<1$ thì $3(a-1)(b-1)(1-c)< 0.$

Nếu $b\geq 1$ thì áp dụng BĐT $xy\leq\frac{1}{4}(x+y)^2$ ta có  $3(a-1)(b-1)(1-c)\leq 3\cdot\frac{1}{4}(a+b-2)^2(1-c)=\frac{3}{4}(1-c)^2(1-c)=\frac{3}{4}(1-c)^3\leq\frac{3}{4}.$

Từ đây suy ra được $P=(1-a)^3+(1-b)^3+(1-c)^3+\frac{1}{4}\leq 1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a-1=b-1,c=0$ hay $a=b=\frac{3}{2}, c=0$.

Vậy $\max A=1\Leftrightarrow (a,b,c)=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},0\right)$ và các hoán vị của nó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 18-05-2023 - 20:22

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
duy030408

duy030408

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết

Ta có: P$= 3(1-a)(1-b)(1-c)+\frac{1}{4}$ $= 3(ab+ac+bc-abc-2)+\frac{1}{4}$

Ta thấy :$ab+ac+bc-abc-2=ab(1-c)+c(a+b)-2$

Không mất tính tổng quát . G/s $c$ là số lớn nhất trong ba số $a,b,c$

$\Rightarrow c\geq 1\Rightarrow 1-c\leq 0\Rightarrow ab(1-c)\leq 0$

Ta thấy $c(a+b)\leq \frac{(a+b+c)^2}{4}\doteq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow ab+ac+bc-abc-2\leq \frac{9}{4}-2= \frac{1}{4}$

$\Rightarrow P\leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}= 1\Rightarrow Max P= 1 ,c=b=\frac{3}{2},a=0$ và các hoán vị






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh