Chủ đề này có 3 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tô màu mỗi ô vuông của bàn cờ $1\times n$ bằng một trong hai màu đen và trắng. Gọi $a_n$ là số cách tô màu trong đó không có hai ô vuông tô màu đen nào liền kề nhau.Hãy tính $a_n$.

[hovutenha]

1/ Tô màu mỗi ô vuông của bàn cờ $1\times n$ bằng một trong hai màu đen và trắng. Gọi $a_n$ là số cách tô màu trong đó không có hai ô vuông tô màu đen nào liền kề nhau.Hãy tính $a_n$.

Ta chứng minh bằng truy hồi

Gọi $a_{n}$ là số cách tô cho bảng $1\times n$

Xét trường hợp của ô vuông cuối cùng

Nếu ô cuối màu trắng : $\rightarrow a_{n-1}$

Nếu ô cuối màu đen: $\rightarrow a_{n-2}$

Suy ra: $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$

Phương trình đặc trưng.....

[chanhquocnghiem]

Ta chứng minh bằng truy hồi

Gọi $a_{n}$ là số cách tô cho bảng $1\times n$

Xét trường hợp của ô vuông cuối cùng

Nếu ô cuối màu trắng : $\rightarrow a_{n-1}$

Nếu ô cuối màu đen: $\rightarrow a_{n-2}$

Suy ra: $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$

Phương trình đặc trưng.....

(Làm cho nó ra kết quả luôn)

$\left\{\begin{matrix}a_0=1=F_2\\a_1=2=F_3\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2},\forall n\geqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n=F_{n+2},\forall n\in \mathbb{N}$

(với $F_k$ là số Fibonacci thứ $k$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-05-2023 - 08:06

[Nobodyv3]

(Làm cho nó ra kết quả luôn)
$\left\{\begin{matrix}a_0=1=F_2\\a_1=2=F_3\\a_n=a_{n-1}+a_{n-2},\forall n\geqslant 2 \end{matrix}\right.\Rightarrow a_n=F_{n+2},\forall n\in \mathbb{N}$
(với $F_k$ là số Fibonacci thứ $k$)

Tức là :
$$a_n=\frac{1}{\sqrt5}\left (\frac {1+\sqrt 5}{2}  \right )^{n+2}- \frac{1}{\sqrt5} \left (\frac {1-\sqrt 5}{2} \right )^{n+2}$$
Hoặc là nếu muốn n ở số mũ hơn là n + 2 thì sau một vài phép tính đại số, ta có:
$$a_n=\frac{5+3\sqrt 5}{10}\left (\frac {1+\sqrt 5}{2}  \right )^{n}+ \frac{5-3\sqrt 5}{10} \left (\frac {1-\sqrt 5}{2} \right )^{n}$$