Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min của $A=x^{4}+y^{4}+2\sqrt{\left( 1+x^{4} \right)\left( 1+y^{4} \right)}$


Lời giải QuocMinh2k8, 17-05-2023 - 23:42

Theo Cosi:

+) $\left ( x+1+y+1 \right )^{2}\geq 4\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=9$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

+) $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Theo Bunhia...:

+) $\left ( \left ( x^{2} \right )^{2} +1^{2}\right )\left ( 1^{2}+4^{2} \right )\geq \left ( x^{2}+4 \right )^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+1\geq \frac{\left ( x^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

+) Tương tự: $y^{4}+1\geq \frac{\left ( y^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

Có:

$A=\left ( \sqrt{x^{4}+1}+\sqrt{y^{4}+1} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{x^{2}+4+y^{2}+4}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2=\frac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ \frac{x^{2}}{1}=\frac{1}{4} \\ \frac{y^{2}}{1}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (TM)

KL: Max $A=\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho 2 số thực x,y thỏa mãn: $\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=\frac{9}{4}$

Tìm Min của $A=x^{4}+y^{4}+2\sqrt{\left ( 1+x^{4} \right )\left ( 1+y^{4} \right )}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 17-05-2023 - 23:00

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#2
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
✓  Lời giải

Theo Cosi:

+) $\left ( x+1+y+1 \right )^{2}\geq 4\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )=9$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

+) $x^{2}+y^{2}\geq 2xy\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}\geq \frac{1}{2}$

Theo Bunhia...:

+) $\left ( \left ( x^{2} \right )^{2} +1^{2}\right )\left ( 1^{2}+4^{2} \right )\geq \left ( x^{2}+4 \right )^{2}$

$\Rightarrow x^{4}+1\geq \frac{\left ( x^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

+) Tương tự: $y^{4}+1\geq \frac{\left ( y^{2}+4 \right )^{2}}{17}$

Có:

$A=\left ( \sqrt{x^{4}+1}+\sqrt{y^{4}+1} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{x^{2}+4+y^{2}+4}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2\geq \left ( \frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}} \right )^{2}-2=\frac{9}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ \frac{x^{2}}{1}=\frac{1}{4} \\ \frac{y^{2}}{1}=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$ (TM)

KL: Max $A=\frac{9}{4}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$


"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein





7 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 7 khách, 0 thành viên ẩn danh