Chủ đề này có 1 trả lời

[thvn]

Nhân tiện bạn truongphat266 đưa ra bài toán về "bổ đề hình thang" (xin phép tạm gọi như vậy) tôi cũng xin góp một bài toán tương tự để giúp các bạn HS lớp 8 có cái nhìn sâu sắc hơn về ứng dụng của nó. Các bạn có thể xem bài gốc TẠI ĐÂY.

 

Bài toán:

Cho tam giác ABC có cạnh BC < AB, từ C vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác BE tại F, vẽ trung tuyến BD cắt CF tại G.

Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm của GE.

 

.............................

Chúc cả nhà ngủ ngon 

[Leonguyen]

Bổ đề

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn, đường trung tuyến $AM.$ Gọi $P$ là điểm bất kì thuộc $AM,$ đường thẳng $BP$ và $CP$ lần lượt cắt $AC, AB$ tại $E, D.$ Khi đó $DE\parallel BC.$

Bổ đề đã được chứng minh ở đây.

Bổ đề

(Bổ đề hình thang) Trong một hình thang, giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm hai cạnh đáy thẳng hàng. 

Gọi $H$ là giao điểm của $CF$ với $AB,$ $I$ là giao điểm của $DF$ với $BC.$

$\bigtriangleup BCH$ có $BF$ vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên $\bigtriangleup BCH$ cân tại $B,$ suy ra $BF$ đồng thời là đường trung tuyến hay $HF=FC.$

Dễ thấy $DF$ là đường trung bình $\bigtriangleup AHC$ nên $DF\parallel AH$ hay $DI\parallel AB,$ từ đây thu được $I$ là trung điểm của $BC.$

Áp dụng Bổ đề 1. cho $\bigtriangleup BDC$ có $DI$ là đường trung tuyến, $DI,$ $CG,$ $BE$ đồng quy thu được $GE\parallel BC$ hay $GECB$ là hình thang.

Áp dụng Bổ đề 2. cho hình thang $GECB$ $(GE\parallel BC)$ thu được $D,F$ và trung điểm của $GE$ thẳng hàng hay $DF$ đi qua trung điểm của $GE.$

Vậy ta có đpcm.

Hình gửi kèm

•