Xét phép $f:$ nghịch đảo tâm $H$ phương tích $\overline{HA}.\overline{HA'}$ với A' là chân đường cao kẻ từ $A$
Gọi $X$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $K,H$ của $(HKQ)$
Ta có $f:$
$(O)\Leftrightarrow (euler)$; $Q\Leftrightarrow M$; $K,T,X\Leftrightarrow K',T',X'$; dễ thấy $\widehat{HMK'}=90^{\circ}$
Vì T là trung điểm $HQ$ nên $T$ thuộc $(euler)$ $\rightarrow$ $T'$ thuộc $(O)$
$(HKQ)$$\Leftrightarrow$$MK'$
Tiếp tuyến tại $K$ $\Leftrightarrow$$(HK'X')$
$BC$ $\Leftrightarrow$ đường tròn đường kính $AH$
Ta cần cm: $X$ thuộc $BC$
Tương đương việc chứng minh bài toán Nghịch đảo như sau:
Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$, $M$ là trung điểm $BC$, $HM$ cắt đường tròn Euler của tam giác $ABC$ tại $T$. Qua $M$ và $H$ vẽ $HX'$ và $MK'$ vuông góc $HM$
($X', K'$ lần lượt thuộc $(AH)$ và đường tròn euler). CMR: $(HX'K')$ tiếp xúc $MK'$
CM: lấy $F$ là trung điểm $AH$, dễ dàng cm được bài toán nghịch đảo dựa vào hình chữ nhật $FTMK'$
Nghịch đảo ngược lại bài toán trên
Suy ra $X$ thuộc $BC$$\rightarrow XT//KQ\rightarrow XT$ vuông góc $OT$.
dpcm
Chết, gõ xong bài mới nhận ra đây là box trung học cơ sở
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 21-05-2023 - 08:43