Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhng2k7]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh rằng $2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq 7 $.

[huytran08]

Câu này có thể giải bằng Nguyên lí Dirichle:

   Theo nguyên lí Dirichle trong 3 số $x-1,y-1,z-1$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu 

  Không mất tính tổng quát giả sử $x-1,y-1$ cùng dấu 

    $\Rightarrow (x-1)(y-1) \geq 0  \Rightarrow xy\geq x+y-1 \Rightarrow xyz\geq xz+yz-z=z(3-z)-z=2z-z^{2}$

 Khi đó $2( x^{2}+y^{2}+z^{2} )+xyz\geq 2( x^{2}+y^{2}+z^{2} )+2z-z^{2} \geq 2(x^{2}+y^{2})+2z+z^{2}\geq (x+y)^{2}+z^{2}+2z=(3-z)^{2}+z^{2}+2z=2(z-1)^{2}+7\geq 7$(đpcm)

   Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$(thoả mãn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-05-2023 - 18:01
LaTeX

[huytran08]

sao cái hiển thị Latex lại lỗi rồi,ai đó sửa lại hộ em @perfectstrong

[perfectstrong]

sao cái hiển thị Latex lại lỗi rồi,ai đó sửa lại hộ em @perfectstrong

Khi nào bạn viết công thức trong cặp dấu $ hoặc \[ thì đừng xuống dòng giữa chừng.

Còn nếu bạn muốn hiển thị nhiều dòng thì hãy dùng \begin{align} hoặc \begin{align*}