Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$ . Chứng minh rằng $2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq 7 $.
CMR $2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq 7 $ với $x,y,z>0$ , $x+y+z=3$
#2
Đã gửi 21-05-2023 - 17:49
Câu này có thể giải bằng Nguyên lí Dirichle:
Theo nguyên lí Dirichle trong 3 số $x-1,y-1,z-1$ luôn tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu
Không mất tính tổng quát giả sử $x-1,y-1$ cùng dấu
$\Rightarrow (x-1)(y-1) \geq 0 \Rightarrow xy\geq x+y-1 \Rightarrow xyz\geq xz+yz-z=z(3-z)-z=2z-z^{2}$
Khi đó $2( x^{2}+y^{2}+z^{2} )+xyz\geq 2( x^{2}+y^{2}+z^{2} )+2z-z^{2} \geq 2(x^{2}+y^{2})+2z+z^{2}\geq (x+y)^{2}+z^{2}+2z=(3-z)^{2}+z^{2}+2z=2(z-1)^{2}+7\geq 7$(đpcm)
Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$(thoả mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 21-05-2023 - 18:01
LaTeX
- thanhng2k7 và Leonguyen thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#3
Đã gửi 21-05-2023 - 17:53
sao cái hiển thị Latex lại lỗi rồi,ai đó sửa lại hộ em @perfectstrong
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#4
Đã gửi 21-05-2023 - 18:02
sao cái hiển thị Latex lại lỗi rồi,ai đó sửa lại hộ em @perfectstrong
Khi nào bạn viết công thức trong cặp dấu $ hoặc \[ thì đừng xuống dòng giữa chừng.
Còn nếu bạn muốn hiển thị nhiều dòng thì hãy dùng \begin{align} hoặc \begin{align*}
- thanhng2k7 và huytran08 thích
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh