Đây là một bài toán khá là chặt mọi người có cách giải nào không ạ?
Cho: $a,b,c,d \in [0;1]$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+d}+\frac{d}{1+a}+abcd\leq3$
$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+d}+\frac{d}{1+a}+abcd\leq3$
#1
Đã gửi 23-05-2023 - 05:48
#2
Đã gửi 23-05-2023 - 14:50
Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.
- perfectstrong, truongphat266 và huytran08 thích
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
#3
Đã gửi 23-05-2023 - 14:55
Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.
Có cách nào là THCS k ạ
#4
Đã gửi 23-05-2023 - 16:14
Đặt $f(a,b,c,d) = $ vế trái. Ta chứng minh $$f(a,b,c,d) \le (1-a)f(0,b,c,d) + a f(1,b,c,d).$$ Chỗ này sau khi rút gọn thì chỉ còn một biến $a$ thôi, biến đổi tương đương sẽ ra $a^2 \le a$. Từ đó suy ra với $b,c,d$ cố định thì vế trái đạt GTLN khi $a = 0$ hoặc $a = 1$.
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
#5
Đã gửi 23-05-2023 - 16:24
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh