Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+d}+\frac{d}{1+a}+abcd\leq3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
truongphat266

truongphat266

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Đây là một bài toán khá là chặt  :D mọi người có cách giải nào không ạ?
Cho: $a,b,c,d \in [0;1]$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+d}+\frac{d}{1+a}+abcd\leq3$



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 179 Bài viết

Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
truongphat266

truongphat266

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.

Có cách nào là THCS k ạ :D



#4
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 179 Bài viết
Vậy thì trình bày lời giải trên theo ngôn ngữ sơ cấp.
Đặt $f(a,b,c,d) = $ vế trái. Ta chứng minh $$f(a,b,c,d) \le (1-a)f(0,b,c,d) + a f(1,b,c,d).$$ Chỗ này sau khi rút gọn thì chỉ còn một biến $a$ thôi, biến đổi tương đương sẽ ra $a^2 \le a$. Từ đó suy ra với $b,c,d$ cố định thì vế trái đạt GTLN khi $a = 0$ hoặc $a = 1$.
$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#5
chuyenndu

chuyenndu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết

cái cuối

https://artofproblem...1434743p8119658






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh