Chủ đề này có 4 trả lời

[truongphat266]

Đây là một bài toán khá là chặt  mọi người có cách giải nào không ạ?
Cho: $a,b,c,d \in [0;1]$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+d}+\frac{d}{1+a}+abcd\leq3$

[nmlinh16]

Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.

[truongphat266]

Coi $b,c,d$ là hằng số và $a$ là biến. Vế trái là hàm lồi theo $a$ nên đạt GLTN trên biên, vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a = 0$ hoặc $a = 1$. Tương tự với các biến còn lại, ta thấy GTLN của vế phải đạt được khi $a,b,c,d \in \{0,1\}$. Vậy chỉ cần thử cả 16 trường hợp là đủ.

Có cách nào là THCS k ạ

[nmlinh16]

Vậy thì trình bày lời giải trên theo ngôn ngữ sơ cấp.
Đặt $f(a,b,c,d) = $ vế trái. Ta chứng minh $$f(a,b,c,d) \le (1-a)f(0,b,c,d) + a f(1,b,c,d).$$ Chỗ này sau khi rút gọn thì chỉ còn một biến $a$ thôi, biến đổi tương đương sẽ ra $a^2 \le a$. Từ đó suy ra với $b,c,d$ cố định thì vế trái đạt GTLN khi $a = 0$ hoặc $a = 1$.

[chuyenndu]

cái cuối

https://artofproblem...1434743p8119658