Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{y}+y^{x}> 1$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

1,Cho  $x,y$ là các số thực dương.Chứng minh rằng $x^{y}+y^{x}> 1$

2,Với $x,y>0;x+y=1$.Tìm $MinS= x^{x}+y^{y}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-05-2023 - 17:23
Lỗi LaTex. Khi kiểu chữ không thống nhất, sẽ xảy ra lỗi hiển thị.

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

1, Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nếu $x\geq1$ hoặc $y\geq1.$ Do đó xét trường hợp $x,y\in(0;1).$

Áp dụng BĐT $\text{Bernoulli}$ với $0<y<1$ ta có:

$\frac{1}{x^y}=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}< \frac{x+y}{x}$ $\Rightarrow x^y>\frac{x}{x+y}$

Chứng minh tương tự thu được $y^x>\frac{y}{x+y}.$

Cộng vế theo vế ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 08-06-2023 - 18:44

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

1, Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nếu $x\geq1$ hoặc $y\geq1.$ Do đó xét trường hợp $x,y\in(0;1).$

Áp dụng BĐT $\text{Bernoulli}$ với $0<y<1$ ta có:

$\frac{1}{x^y}=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}\leq \frac{x+y}{x}$ $\Rightarrow x^y\geq\frac{x}{x+y}$

Chứng minh tương tự thu được $y^x\geq\frac{y}{x+y}.$

Cộng vế theo vế ta có đpcm.

Giải hay thật,câu b mình có ý tưởng thế này,không biết có sai không:

  $S=x^{x}+y^{y}=x^{x}+(1-x)^{1-x}=f(x)$ có tập xác định $D=(0;1)$

+Nếu $x\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$ thì $f(x)$ nghịch biến $\Rightarrow MinS\Leftrightarrow Max(x)\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow S=\sqrt{2}$

+Nếu $x\in \left [ \frac{1}{2};1 \right )$ thì $f(x)$ đồng biến xong tương tự như trên.


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

1, Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng nếu $x\geq1$ hoặc $y\geq1.$ Do đó xét trường hợp $x,y\in(0;1).$

Áp dụng BĐT $\text{Bernoulli}$ với $0<y<1$ ta có:

$\frac{1}{x^y}=\left(1+\frac{1}{x}-1\right)^y\leq1+y\left(\frac{1}{x}-1\right)=\frac{x+y-xy}{x}< \frac{x+y}{x}$ $\Rightarrow x^y>\frac{x}{x+y}$

Chứng minh tương tự thu được $y^x>\frac{y}{x+y}.$

Cộng vế theo vế ta có đpcm.

Lúc đầu mình sử dụng trực tiếp bđt Bernoulli luôn do x,y<1 nên bị ngược dấu, thử nghịch đảo lại thì ra được kết quả như này


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh