Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?
Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?
#1
Posted 23-05-2023 - 20:18
Dư Hấu
#2
Posted 24-05-2023 - 06:22
Gọi $A$ là biến cố cần tính xác suất.
Áp dụng nguyên lý bù trừ, ta xây dựng được hàm sinh cho các cách xếp :
$$\begin{align*} f(x)&=\left(\frac{x^3}{3!}-\binom{2}{1}\frac {x^2}{2!}+\binom{2}{2}\frac {x^1}{1!}\right)^4\\
&=\frac{1}{1296}x^{12}-\frac{1}{54}x^{11}+\frac{5}{27}x^{10}-x^9\\
&+\frac{19}{6}x^8-6x^7+\frac{20}{3}x^6-4x^5+x^4
\end{align*}$$Thế các $x^k$ bằng $k!$ ta có số các cách xếp sách thỏa yêu cầu :
$$\begin{align*}
\Rightarrow &\;\frac{12!}{1296}-\frac{11!}{54}+\frac{5\cdot 10!}{27}-9!\\
&+\frac{19\cdot 8!}{6}-6\cdot7!+\frac{20\cdot 6!}{3}-4\cdot 5!+4!\\
=&\;369600-739200+672000-362880\\
&+127680-30240+4800-480+24\\
=&\;41304
\end{align*}$$XS cần tìm :
$$P(A)=\frac { 41304 }{\frac {12!}{(3!)^4}}= \boldsymbol {\frac {1721}{15400}} $$
Edited by Nobodyv3, 25-05-2023 - 12:41.
- chanhquocnghiem likes this
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Posted 24-05-2023 - 12:21
Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?
Đề bài cần phải rõ ràng !
Cần phải sửa lại là :
"Xác suất để BẤT KỲ 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn đều không xếp liền nhau"
hoặc là
"Xác suất để KHÔNG CÓ 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau"
Edited by chanhquocnghiem, 25-05-2023 - 08:31.
- Nobodyv3 likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#4
Posted 24-05-2023 - 20:49
Cách khác :
Bài toán đã cho tương đương với : Có bao nhiêu từ aaabbbcccddd sao cho không có 2 chữ cái giống nhau nào đứng liền kề nhau.
Ta có hàm sinh cho các cách viết các Smirnov words ( là các từ mà trong đó không có 2 chữ cái giống nhau nào đứng liền kề nhau ) :
$$f(a,b,c,d,x)=\left(1-\frac{ax}{1+ax} -\frac{bx}{1+bx}-\frac{cx}{1+cx} -\frac{dx}{1+dx} \right) ^{-1}$$Với sự trợ giúp của WA, ta tính được số các từ Smirnov cũng là số cách xếp sách thỏa đề bài :
$$\begin {align*}
[a^3b^3c^3d^3x^{12}]f(a,b,c,d,x)&= [a^3b^3c^3d^3x^{12}]\left(1-\frac{ax}{1+ax} -\frac{bx}{1+bx}-\frac{cx}{1+cx} -\frac{dx}{1+dx} \right) ^{-1}\\
&=\boldsymbol {41304}
\end {align*}$$
Ngoài ra, ta cũng có thể giải bằng cách sử dụng đa thức Laguerre ( các bạn tham khảo các bài viết của anh @chanhquocnghiem nhé ).
Edited by Nobodyv3, 25-05-2023 - 12:42.
- chanhquocnghiem likes this
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#5
Posted 25-05-2023 - 08:15
Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?
(Cách giải không dùng hàm sinh)
Số cách sắp xếp ngẫu nhiên $12$ quyển sách đã cho là $M=\frac{12!}{(3!)^4}=\frac{12!}{6^4}$.
Gọi $M_k$ là số cách sắp xếp sao cho có ít nhất $k$ loại sách chiếm $3$ vị trí liên tiếp. Ta tính $M_k$ theo cách sau :
- Chọn $k$ loại sách trong số $4$ loại sách : $C_4^k$ cách.
- Với mỗi loại sách (trong $k$ loại đã chọn), ta ghép cả $3$ quyển giống nhau, xem như $1$ quyển đặc biệt. Như vậy, từ $12$ quyển ban đầu, nay chỉ còn $12-2k$ quyển
- Sắp xếp ngẫu nhiên $12-2k$ quyển đó : Có $\frac{(12-2k)!}{(3!)^{4-k}}=\frac{6^k(12-2k)!}{6^4}$ cách
$\Rightarrow M_k=C_4^k\ \frac{6^k(12-2k)!}{6^4}$
Và số cách sắp xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là
$M-M_1+M_2-M_3+M_4=\frac{12!}{6^4}+\sum_{k=1}^{4}C_4^k\frac{(-1)^k6^k(12-2k)!}{6^4}$
$=\frac{1}{6^4}\sum_{k=0}^{4}C_4^k(-6)^k(12-2k)!=308664$.
Xác suất cần tính là $P=\frac{308664}{\frac{12!}{6^4}}=\frac{38583}{46200}\approx 0,835130$.
Edited by chanhquocnghiem, 25-05-2023 - 09:08.
- Nobodyv3 likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#6
Posted 25-05-2023 - 09:03
Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất để không có 3 quyển sách nào thuộc cùng 1 môn được xếp liền nhau ?
(Giải bằng đa thức Laguerre)
Bài toán tương đương với "Xác suất xếp $3$ chữ $a$, $3$ chữ $b$, $3$ chữ $c$, $3$ chữ $d$ thành một hàng sao cho không có $3$ chữ liên tiếp giống nhau ?"
Các cách xếp "hợp lệ" khi không chứa các xâu $\left \{ aaa,bbb,ccc,ddd \right \}$.
$m_1=m_2=m_3=m_4=3$ (không chứa $3$ chữ giống nhau liên tiếp)
$n_1=n_2=n_3=n_4=3$ (mỗi chữ cái xuất hiện đúng $3$ lần)
Đa thức Laguerre cho mỗi chữ cái chính là hệ số của $x^n$ trong khai triển của $\exp\left ( \frac{t(x-x^m)}{1-x^m} \right )=e^{t(x-x^m)/(1-x^m)}$
Trong bài này, đa thức Laguerre cho mỗi chữ cái là :
$\left [ x^3 \right ]\exp\left ( \frac{t(x-x^3)}{1-x^3} \right )=\frac{t^3}{6}-t$
Số cách xếp "hợp lệ" là $\int_{0}^{\infty}e^{-t}\left ( \frac{t^3}{6}-t \right )^4dt=308664$.
Xác suất cần tính là $P=\frac{308664}{\frac{12!}{6^4}}=\frac{38583}{46200}\approx 0,835130$.
- Nobodyv3 likes this
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#7
Posted 25-05-2023 - 12:39
Áp dụng nguyên lý bù trừ, ta lập được hàm sinh :Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Xác suất 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền nhau ?
$$ \left(\frac {x^3}{3!}- x\right)^4= \frac {1}{1296}x^{12}- \frac {1}{54}x^{10} + \frac {1}{6}x^8 - \frac {2}{3}x^6+x^4$$ Thế các $x^k$ bằng các $k!$ ta có số các cách xếp thỏa yêu cầu :
$$\begin {align*}
&\frac {1}{1296}12! - \frac {1}{54}10!
+ \frac {1}{6}8! - \frac {2}{3}6! + 4!\\
&=369600-67200+6720-480+24\\
&=\boldsymbol {308664}
\end{align*}$$
Cách khác : Không dùng hàm sinh mà sử dụng trực tiếp nguyên lý bù trừ, ta có số cách xếp thỏa đề bài :$$\begin {align*}
&\binom{12}{3,3,3,3}-4\binom{10}{1,3,3,3}+6\binom{8}{1,1,3,3}\\
&-4\binom{6}{1,1,1,3}+\binom{4}{1,1,1,1}\\
&=369600-4\cdot16800+6\cdot1120-4\cdot120+24\\
&=\boldsymbol {308664}
\end{align*}$$
@chanhquocnghiem Thank you so much .
Kết quả trùng khớp với kết quả của anh.
Edited by Nobodyv3, 25-05-2023 - 12:50.
- chanhquocnghiem likes this
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users