Đến nội dung

Hình ảnh

$a^{\alpha}_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}, \forall n\geq 2$ Chứng minh: dãy $\left ( \frac{a_n}{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sprouts

Sprouts

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Cho $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha > 2$, dãy số $(a_n)\subset \mathbb{R^{+}}$ thỏa mãn:\

$a^{\alpha}_n=a_1+a_2+...+a_{n-1}, \forall n\geq 2$

Chứng minh: dãy $\left ( \frac{a_n}{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn, $lim\frac{a_n}{n}=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sprouts: 23-05-2023 - 21:23


#2
nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
Từ giả thiết, ta có $a_{n+1}^\alpha = a_n + a_n^\alpha$. Từ đó dãy $(a_n)$ tăng. Nếu nó bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn $\ell$. Nhưng từ đẳng thức trên ta tính được $\ell = 0$, mâu thuẫn vì $a_1 > 0$. Vậy dãy $(a_n)$ tăng và không bị chặn trên, nên $\lim a_n = +\infty$, suy ra $\lim \dfrac{1}{a_n} = 0.$
Mặt khác, $$a_{n+1} - a_n = a_n((1+ a_n^{1-\alpha})^{\frac{1}{\alpha}} - 1) = \frac{f(1/a_n) - f(0)}{1/a_n}$$ với $f(x) = (1+x^{\alpha - 1})^{\frac{1}{\alpha}}$. Ta có $f’(x) = \frac{1}{\alpha} (1+x^{\alpha - 1})^{\frac{1}{\alpha}-1} (\alpha-1)x^{\alpha-2}$. Vì $\alpha > 2$ nên $f’(0) = 0$, hay $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 0,$$ suy ra $\lim(a_{n+1} - a_n) = 0$. Theo định lý trung bình Cesàro, ta có $\lim \dfrac{a_n}{n} = 0$.

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh