Đến nội dung

Hình ảnh

Xuất phát từ 1 bài toán gốc và các mở rộng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Trong bài viết này mình muốn giới thiệu cho mọi người 1 số mở rộng rất hay từ 1 bài toán hình cơ bản mình được học trên lớp. Ban đầu nghĩ chỉ là bài thường thôi nhưng khi cố mở rộng lại có kết quả ngoài sức mong đợi. 

 

Bài toán 1 (bài gốc). Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$,đường cao $AD,BE,CF$;$AD$ cắt $(O)$ tại $P$,$PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$. (Đây là bài cơ bản nên ta tạm bỏ qua phần chứng minh.)

 

*Các bài toán mở rộng

 

Bài toán 2. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua 2 điểm $B, C$ cắt $AC,AB$ tại $E, F$.$BE$ cắt $CF$ tại $H$.$AH$ cắt $(O)$ tại $P$. $PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

Bài toán 3. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$.Điểm $P$ nằm trong cung nhỏ $BC$ điểm $Q$ đối xứng $P$ qua $BC$ nằm trong $\Delta ABC$. $BQ,CQ$ cắt $AC, AB$ tại $E, F$.$PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

 

                                                                           (To be continued...)        

 

(Lười quá chẳng muốn vẽ hình)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 26-05-2023 - 18:10

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Trong vai trò một ĐHV, mình có chút góp ý là bạn huytran08 nên đặt lại tiêu đề topic này như bình thường, tức là nội dung cần chứng minh thuộc về bài toán gốc.

 

Tiêu đề "Xuất phát từ một bài toán hình cơ bản" có lẽ sẽ không đúng với quy định. Nó chung chung, không xác định vấn đề cụ thể là gì. 

 

Cứ lấy tiêu đề với bài toán gốc, người đọc khi vào xem sẽ tự biết bạn muốn đề cập tới các bài toán mở rộng ạ! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 23-05-2023 - 21:33

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

 

Trong bài viết này mình muốn giới thiệu cho mọi người 1 số mở rộng rất hay từ 1 bài toán hình cơ bản mình được học trên lớp. Ban đầu nghĩ chỉ là bài thường thôi nhưng khi cố mở rộng lại có kết quả ngoài sức mong đợi. 

 

Bài toán 1 (bài gốc). Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$,đường cao $AD,BE,CF$;$AD$ cắt $(O)$ tại $P$,$PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$. (Đây là bài cơ bản nên ta tạm bỏ qua phần chứng minh.)

 

*Các bài toán mở rộng

 

Bài toán 2. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua 2 điểm $B, C$ cắt $AC,AB$ tại $E, F$.$BE$ cắt $CF$ tại $H$.$AH$ cắt $(O)$ tại $P$. $PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

Bài toán 3. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$.Điểm $P$ nằm trong cung nhỏ $BC$ điểm $Q$ đối xứng $P$ qua $BC$ nằm trong $\Delta ABC$. $BQ,CQ$ cắt $AC, AB$ tại $E, F$.$PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

 

                                                                           (To be continued...)        

 

(Lười quá chẳng muốn vẽ hình)

 

Bạn có thể đưa ra lời giải hai câu sau không?


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#4
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Bạn có thể đưa ra lời giải hai câu sau không?

Có chứ bạn,mình giải tạm câu 2 trước nhé :mellow:

 

 

Bài toán 2. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua 2 điểm $B, C$ cắt $AC,AB$ tại $E, F$.$BE$ cắt $CF$ tại $H$.$AH$ cắt $(O)$ tại $P$. $PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

                                                                                                    Lời giải

Gọi $(FBH)$ cắt $AP$ tại $M$

Ta có:$AH.AM=AF.AB=AE.AC$ nên $EHMC$ nội tiếp

   $\Rightarrow \widehat{BMC}=360^{o}-(\widehat{BMN}+\widehat{CMN})=(180^{o}-\widehat{BMN})+(180^{o}-\widehat{CMN})$

                                                                  $=\widehat{BFC}+\widehat{BEC}=\widehat{BO'C}$

   $ \Rightarrow BMO'C$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{O'MC}=\widehat{O'BC}=\frac{180^{o}-\widehat{BO'C}}{2}$

Xét:$\widehat{AMO'}=\widehat{CMN}-\widehat{O'MC}=180^{o}-\frac{\widehat{BO'C}}{2}-\frac{180^{o}-\widehat{BO'C}}{2}=90^{o} \Rightarrow O'M\perp AP $

Gọi $N$ đối xứng $P$ qua $M$,$J$ đối xứng $F$ qua $O'M$ thì $J \in (O')$ và $FNPJ$ là hình thang cân

Có:$ \widehat{FJC}=\widehat{ABC}=\widehat{APC}$ nên $C,P,J$ thẳng hàng

 Gọi $AP$ cắt $BC$ tại $L$

 $\widehat{ANP}=\widehat{FJC}=\widehat{ABC} \Rightarrow BFNL$ nội tiếp

 Tương tự có $CENL$ nội tiếp suy ra $AENF$ nội tiếp

  $\Rightarrow \widehat{ENP}=180^{o}-\widehat{ANE}=180^{o}-\widehat{AFE}=\widehat{BFE}$

Mặt khác ta có $\widehat{EMN}=\widehat{ACF}=\widehat{ABE}$ nên $\Delta EMN\sim \Delta EBF(g.g) \Rightarrow \frac{MN}{BF}=\frac{EN}{EF}=\frac{NP}{2BF} $

  Gọi $I$ là trung điểm $EF$ thì $\frac{NP}{2BF}=\frac{EN}{2IF} \Rightarrow \frac{NP}{BF}=\frac{EN}{IF}$

  $\Rightarrow \Delta ENP\sim \Delta IFB\Rightarrow \widehat{ABI}=\widehat{APE}=\widehat{ABX}$

  $\Rightarrow B,I,X$ thẳng hàng(đpcm)

Hình gửi kèm

  • BXEF.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 03-07-2023 - 10:34

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#5
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Tiếp tục với bài 3:

 

 

Bài toán 3. Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$.Điểm $P$ nằm trong cung nhỏ $BC$ điểm $Q$ đối xứng $P$ qua $BC$ nằm trong $\Delta ABC$. $BQ,CQ$ cắt $AC, AB$ tại $E, F$.$PE$ cắt $(O)$ tại $X$. Chứng minh $BX$ chia đôi $EF$.

 

                                                                                                              Lời giải

 

Gọi $(ABE)$ cắt $BC$ tại $D$

Ta có:$ \widehat{EQF}=\widehat{BQC}=\widehat{BPC}=180^{o}-\widehat{BAC}\Rightarrow AEQF$ nội tiếp

         $ \Rightarrow \widehat{EQC}=\widehat{BAC}=\widehat{EDC}\Rightarrow EQDC$ nội tiếp

        $ \Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}=\widehat{BCF}=\widehat{BCP}=\widehat{BAP}$

        $ \Rightarrow A,D,P$ thẳng hàng

Gọi $G$ đối xứng $P$ qua $D$ thì $GQ//BC$ nên $\widehat{DGQ}=\widehat{GDB}=\widehat{AEB}$

  suy ra $AEQG$ nội tiếp

Từ đó dễ có:$ \widehat{EGD}=\widehat{EFB}$ và $ \widehat{FBE}=\widehat{GDE}$

Vậy $\Delta EFB\sim \Delta EDG(g.g)$.

Gọi $I$ là trung điểm $EF$ thì $\Delta IFB\sim \Delta EGP(c.g.c)$ suy ra $\widehat{ABI}=\widehat{APE}=\widehat{ABX}$

  $\Rightarrow B,I,X$ thẳng hàng (đpcm)

Hình gửi kèm

  • BXEFF1.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 06-07-2023 - 16:59

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh