Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $x+y=0$ với $\left(x+\sqrt{y^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{x^{2}+1}\right)=1$.

- - - - -

Lời giải huytran08, 24-05-2023 - 21:08

$\left(x+\sqrt{y^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{x^{2}+1}\right)=1$

$\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2}-x^{2})(1+x^{2}-y^{2})}{(\sqrt{1+y^{2}}-x)(\sqrt{1+x^{2}}-y)}=1$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=(\sqrt{1+y^{2}}-x)(\sqrt{1+x^{2}}-y)$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}-y\sqrt{1+y^{2}}-x\sqrt{1+x^{2}}+xy$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-[xy+y\sqrt{1+y^{2}}+x\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})$
$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-1$
$\Leftrightarrow 2-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]$ mà $2-(x^{2}-y^{2})^{2}\leq 2$
$\Rightarrow 2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]\leq 2$
$\Rightarrow \sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}\leq 1-xy$
$\Rightarrow (1+x^{2})(1+y^{2})\leq (1-xy)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1\leq x^{2}y^{2}-2xy+1$
$\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}\leq 0$
$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 0$ mà $(x+y)^{2}\geq 0$ $\Rightarrow x+y=0$(đpcm)
Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Cho $\left(x+\sqrt{y^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{x^{2}+1}\right)=1$. 

 

Chứng minh rằng $x + y=0$.



#2
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
✓  Lời giải

$\left(x+\sqrt{y^{2}+1}\right)\left(y+\sqrt{x^{2}+1}\right)=1$

$\Leftrightarrow \frac{(1+y^{2}-x^{2})(1+x^{2}-y^{2})}{(\sqrt{1+y^{2}}-x)(\sqrt{1+x^{2}}-y)}=1$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=(\sqrt{1+y^{2}}-x)(\sqrt{1+x^{2}}-y)$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}-y\sqrt{1+y^{2}}-x\sqrt{1+x^{2}}+xy$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-[xy+y\sqrt{1+y^{2}}+x\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]$

$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-(x+\sqrt{1+y^{2}})(y+\sqrt{1+x^{2}})$
$\Leftrightarrow 1-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]-1$
$\Leftrightarrow 2-(x^{2}-y^{2})^{2}=2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]$ mà $2-(x^{2}-y^{2})^{2}\leq 2$
$\Rightarrow 2[xy+\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}]\leq 2$
$\Rightarrow \sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})}\leq 1-xy$
$\Rightarrow (1+x^{2})(1+y^{2})\leq (1-xy)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1\leq x^{2}y^{2}-2xy+1$
$\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}\leq 0$
$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq 0$ mà $(x+y)^{2}\geq 0$ $\Rightarrow x+y=0$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 24-05-2023 - 22:35

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh