Chủ đề này có 5 trả lời

[Matthew James]

Tìm các số nguyên dương $n>1$ thỏa mãn tính chất nếu $d>1$ là ước của $n$ thì $d-1$ là ước của $n-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 25-05-2023 - 17:11

[thvn]

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 25-05-2023 - 17:32

[Matthew James]

Tôi nghĩ rằng n là số nguyên tố hoặc n = $p^2$  với p là số nguyên tố.

Không biết còn thiếu trường hợp nào không?

 

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ

[thvn]

Em nghĩ chưa đủ đâu ạ. Nếu $n$ là 15 và $d=3$ là ước của $n$ thì $d-1$ vẫn là ước của $n-1$ đấy ạ

 

Tôi thì lại nghĩ là số n = 15 không đúng, vì nếu theo yêu cầu của bài thì tất cả các ước số của n đều phải có tính chất như vậy. Rõ ràng 5 là ước của 15 nhưng 14 không chia hết cho 4 

Hoặc bạn phải sửa lại đề là "tồn tại" ước số d của n để n - 1 cũng chia hết cho d - 1.

Khi đó mới chặt chẽ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 25-05-2023 - 21:07

[nmlinh16]

Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} - 1$ là ước của $n-1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}-1\right)p < n - 1 \le \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ suy ra $$n-1 = \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ hay $n = p^2$.
Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được rằng $n = p^2$, với $p$ là số nguyên tố bất kỳ, thoả mãn tính chất đã nêu.

[thvn]

Dễ thấy mọi số nguyên tố $n$ đều thoả mãn tính chất đã nêu.
Nếu $n$ là hợp số thỏa mãn tính chất đã nêu, gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Vì $\dfrac{n}{p}$ là ước của $n$ nên $\dfrac{n}{p} - 1$ là ước của $n-1$. Mà $n \ge p^2$ và $p > 1$ nên ta có các bất đẳng thức $$\left(\frac{n}{p}-1\right)p < n - 1 \le \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ suy ra $$n-1 = \left(\frac{n}{p}-1\right)(p+1),$$ hay $n = p^2$.
Ngược lại, dễ dàng kiểm tra được rằng $n = p^2$, với $p$ là số nguyên tố bất kỳ, thoả mãn tính chất đã nêu.