Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm vị trí M trên cung nhỏ AC để bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta AMC$ đạt giá trị lớn nhất


Lời giải HaiDangPham, 26-05-2023 - 00:00

Hiện tại mình chỉ nghĩ ra cách này thôi. Chắc sẽ có cách khác dùng hình phụ. 

 

Đặt $AM=x, CM=y$.

Xét tứ giác nội tiếp $AMCB$ có

(i) $AB=2R$,

(ii) $AC=BC=\sqrt{2}R$ và

(iiI) $BM=\sqrt{4R^2-x^2}$. 

Áp dụng Định lý Ptoleme ta có 

$AM.BC+MC.AB=BM.AC$

$\Leftrightarrow x.\sqrt{2}R+y.2R=\sqrt{4R^2-x^2}.\sqrt{2}R$

$\Leftrightarrow x+\sqrt{2}y=\sqrt{4R^2-x^2}$ (chia cả hai vế cho $\sqrt{2}R$) 

$\Leftrightarrow x^2 +2y^2 +2\sqrt{2}xy=4R^2-x^2$ (bình phương cả hai vế) 

$\Leftrightarrow x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$. 

Ta có $2xy \leq x^2+y^2 $, suy ra $2xy+\sqrt{2}xy \leq x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$.

Vậy

$xy \leq (2-\sqrt{2})R^2 $. 

 

Tiếp theo, gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $AMC$. Khi đó $S_{AMC}=\frac{1}{2}.(MA+MC+AC).r=\frac{1}{2}.(x+y+\sqrt{2}R).r$. 

Lưu ý rằng $\angle AMC=135^{\circ}$ nên $S_{AMC}=\frac{1}{2}.\sin{\angle AMC}.MA.MC. =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}.xy=\frac{\sqrt{2}}{4}xy$. 

Do đó $\frac{\sqrt{2}}{4}xy=\frac{1}{2}.(x+y+\sqrt{2}R).r$. Vậy 

$\boxed{\frac{1}{r}=\sqrt{2}.\frac{x+y+\sqrt{2}R}{xy}}$. 

Ta có $\frac{x+y}{xy} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}R}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{R}$  và $\frac{\sqrt{2}R}{xy} \geq \frac{\sqrt{2}R}{(2-\sqrt{2})R^2}=\frac{\sqrt{2}+1}{R}$.  

Vì vậy $\frac{1}{r} \geq \frac{\alpha}{R}$ hay $r \leq \frac{R}{\alpha}$, trong đó $\alpha=\sqrt{2}.(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1)$. 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$. 

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $AMC$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ nằm chính giữa cung $AC$. 

 

_____

Có thể chứng minh $x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$ nhanh hơn bằng cách dùng Định lý hàm cos $AC^2=MA^2+MC^2-2MA.MC.\cos \angle AMC$. 

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. $M$ là một điểm chuyển động trên cung nhỏ $AC$. Gọi $I$ là giao điểm $BM$ và $CD$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt tia $DC$ tại $K$.

a) CM tứ giác AMIO nội tiếp

b) CM: $\widehat{MKD}=2\widehat{MBA}$

c) Tia phân giác $\widehat{MOK}$ cắt BM tại N. CM: CN vuông góc MB

d) Tìm vị trí $M$ trên cung nhỏ $AC$ để bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta AMC$ đạt giá trị lớn nhất.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 25-05-2023 - 22:24

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Quocminh nên đăng toàn bộ bài toán thì hay hơn. Dữ kiện cho $I$ và $K$, chẳng liên quan gì tới yêu cầu cần giải quyết cả. Chắc là lại tách câu cuối ra thì phải. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Quocminh nên đăng toàn bộ bài toán thì hay hơn. Dữ kiện cho $I$ và $K$, chẳng liên quan gì tới yêu cầu cần giải quyết cả. Chắc là lại tách câu cuối ra thì phải.

Rồi ạ


"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#4
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. $M$ là một điểm chuyển động trên cung nhỏ $AC$. Gọi $I$ là giao điểm $BM$ và $CD$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt tia $DC$ tại $K$.

a) CM tứ giác AMIO nội tiếp

b) CM: $\widehat{MKD}=2\widehat{MBA}$

c) Tia phân giác $\widehat{MOK}$ cắt BM tại N. CM: CN vuông góc MB

d) Tìm vị trí $M$ trên cung nhỏ $AC$ để bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta AMC$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài này là ở: Đề thi thử vào lớp 10 trường THCS Lê Qúy Đôn- Cầu Giấy- Hà Nội.

Nhưng năm nào em ko biết, người ta ghi mỗi thế.


"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết
✓  Lời giải

Dang-DDTH-Thang5Ngay25-1 2.jpg

Hiện tại mình chỉ nghĩ ra cách này thôi. Chắc sẽ có cách khác dùng hình phụ. 

 

Đặt $AM=x, CM=y$.

Xét tứ giác nội tiếp $AMCB$ có

(i) $AB=2R$,

(ii) $AC=BC=\sqrt{2}R$ và

(iiI) $BM=\sqrt{4R^2-x^2}$. 

Áp dụng Định lý Ptoleme ta có 

$AM.BC+MC.AB=BM.AC$

$\Leftrightarrow x.\sqrt{2}R+y.2R=\sqrt{4R^2-x^2}.\sqrt{2}R$

$\Leftrightarrow x+\sqrt{2}y=\sqrt{4R^2-x^2}$ (chia cả hai vế cho $\sqrt{2}R$) 

$\Leftrightarrow x^2 +2y^2 +2\sqrt{2}xy=4R^2-x^2$ (bình phương cả hai vế) 

$\Leftrightarrow x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$. 

Ta có $2xy \leq x^2+y^2 $, suy ra $2xy+\sqrt{2}xy \leq x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$.

Vậy

$xy \leq (2-\sqrt{2})R^2 $. 

 

Tiếp theo, gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $AMC$. Khi đó $S_{AMC}=\frac{1}{2}.(MA+MC+AC).r=\frac{1}{2}.(x+y+\sqrt{2}R).r$. 

Lưu ý rằng $\angle AMC=135^{\circ}$ nên $S_{AMC}=\frac{1}{2}.\sin{\angle AMC}.MA.MC. =\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{2}}.xy=\frac{\sqrt{2}}{4}xy$. 

Do đó $\frac{\sqrt{2}}{4}xy=\frac{1}{2}.(x+y+\sqrt{2}R).r$. Vậy 

$\boxed{\frac{1}{r}=\sqrt{2}.\frac{x+y+\sqrt{2}R}{xy}}$. 

Ta có $\frac{x+y}{xy} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}} \geq \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}R}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{R}$  và $\frac{\sqrt{2}R}{xy} \geq \frac{\sqrt{2}R}{(2-\sqrt{2})R^2}=\frac{\sqrt{2}+1}{R}$.  

Vì vậy $\frac{1}{r} \geq \frac{\alpha}{R}$ hay $r \leq \frac{R}{\alpha}$, trong đó $\alpha=\sqrt{2}.(\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1)$. 

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$. 

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $AMC$ đạt giá trị lớn nhất khi $M$ nằm chính giữa cung $AC$. 

 

_____

Có thể chứng minh $x^2+y^2+\sqrt{2}xy=2R^2$ nhanh hơn bằng cách dùng Định lý hàm cos $AC^2=MA^2+MC^2-2MA.MC.\cos \angle AMC$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 26-05-2023 - 00:06

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#6
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
$sin\widehat{AMC}$ là anh dùng tỉ số lượng giác trong tam giác nhọn ạ?

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 26-05-2023 - 00:16

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#7
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 

$sin\widehat{AMC}$ là anh dùng tỉ số lượng giác trong tam giác nhọn ạ?

 

Chỗ đó $\sin 135^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Nói chung bài này là để thi vào 10 thì hơi khó. Giải như cách trên của mình thật sự không hay. Nhưng thôi, tạm vậy đã. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 26-05-2023 - 00:17

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Cấp 2 được dùng định lý Ptoleme, cos và sin à?


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Cấp 2 được dùng định lý Ptoleme, cos và sin à?

được mà anh,bọn em trước học ôn thi hsg tỉnh thầy vẫn bảo dùng được,đại trà thì dùng cos,sin cũng được :icon6:  :icon6:


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

được mà anh,bọn em trước học ôn thi hsg tỉnh thầy vẫn bảo dùng được,đại trà thì dùng cos,sin cũng được :icon6:  :icon6:

Vậy là tùy địa phương à :o Chỗ mình ngày xưa chỉ được dùng những gì có trong SGK, cộng với BĐT Cauchy 2 số, còn lại phải tự chứng minh thêm.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Vậy là tùy địa phương à :o Chỗ mình ngày xưa chỉ được dùng những gì có trong SGK, cộng với BĐT Cauchy 2 số, còn lại phải tự chứng minh thêm.

Ptoleme chắc phải chứng minh ạ, tại đây là đề thi thử vào 10


"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh