Đến nội dung

Hình ảnh

​Tìm $P(x)$ và $Q(x)$ monic, khác hằng, bậc $n$ có $n$ nghiệm thỏa mãn: $P(x)-Q(x)=1,\forall x$

- - - - - đa thức

Lời giải nmlinh16, 27-05-2023 - 22:30

Với $n=0$, bài toán không có nghiệm.
Với $n=1$, hiển nhiên tất cả các nghiệm cho bởi $(P(x), Q(x)) = (x-a, x-a-1)$, với $a$ là số nguyên dương tuỳ ý.
Xét $n \ge 2$. Viết $Q(x) = (x-a_1)\cdots (x-a_n)$ với $a_1 \le \cdots \le a_n$ là các số tự nhiên. Nếu $a$ là một nghiệm của $P$ thì $(a-a_1)\cdots (a-a_n) = Q(a) = P(a) - 1 = -1$, suy ra $a-a_i \in \{\pm 1\}$ với mọi $i = 1,\ldots,n$. Mặt khác ta không thể có $a-a_1 = \cdots = a-a_n = 1$, nên tồn tại chỉ số $i$ sao cho $a-a_i = -1$. Mà $a-a_1 \ge \cdots \ge a-a_n$ nên $a-a_n = -1$, hay $a = a_n - 1$, nghĩa là đây là nghiệm duy nhấy của $P$. Vậy $P(x) = (x-a)^n$.
Ta cũng có $Q(x) = (x-a+1)^k (x-a-1)^{n-k}$ với $0 \le k < n$ nào đó. Nếu $n \ge 3$ thì $k \ge 2$ hoặc $n-k \ge 2$. Trong trường hợp thứ nhất thì $Q’(a-1) = 0$, trong trường hợp thứ hai thì $Q’(a+1) = 0$. Nhưng $Q’(x) = P’(x) = n(x-a)^{n-1}$ chỉ có nghiệm duy nhất là $a$, mâu thuẫn. Vậy với $n \ge 3$ thì bài toán không có nghiệm.
Ta chỉ còn trường hợp $n = 2$. Lúc này, thử trực tiếp $k = 0$ và $k = 1$, ta thấy tất cả các nghiệm của bài toán là $(P(x), Q(x)) = ((x-a)^2, (x-a+1)(x-a-1))$, với $a$ là số nguyên dương tuỳ ý. Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Tìm tất cả các cặp đa thức monic khác hằng $P(x)$ và $Q(x)$ có bậc $n$, có n nghiệm nguyên không âm, thỏa mãn:
$P(x)-Q(x)=1,\forall x$



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết
✓  Lời giải
Với $n=0$, bài toán không có nghiệm.
Với $n=1$, hiển nhiên tất cả các nghiệm cho bởi $(P(x), Q(x)) = (x-a, x-a-1)$, với $a$ là số nguyên dương tuỳ ý.
Xét $n \ge 2$. Viết $Q(x) = (x-a_1)\cdots (x-a_n)$ với $a_1 \le \cdots \le a_n$ là các số tự nhiên. Nếu $a$ là một nghiệm của $P$ thì $(a-a_1)\cdots (a-a_n) = Q(a) = P(a) - 1 = -1$, suy ra $a-a_i \in \{\pm 1\}$ với mọi $i = 1,\ldots,n$. Mặt khác ta không thể có $a-a_1 = \cdots = a-a_n = 1$, nên tồn tại chỉ số $i$ sao cho $a-a_i = -1$. Mà $a-a_1 \ge \cdots \ge a-a_n$ nên $a-a_n = -1$, hay $a = a_n - 1$, nghĩa là đây là nghiệm duy nhấy của $P$. Vậy $P(x) = (x-a)^n$.
Ta cũng có $Q(x) = (x-a+1)^k (x-a-1)^{n-k}$ với $0 \le k < n$ nào đó. Nếu $n \ge 3$ thì $k \ge 2$ hoặc $n-k \ge 2$. Trong trường hợp thứ nhất thì $Q’(a-1) = 0$, trong trường hợp thứ hai thì $Q’(a+1) = 0$. Nhưng $Q’(x) = P’(x) = n(x-a)^{n-1}$ chỉ có nghiệm duy nhất là $a$, mâu thuẫn. Vậy với $n \ge 3$ thì bài toán không có nghiệm.
Ta chỉ còn trường hợp $n = 2$. Lúc này, thử trực tiếp $k = 0$ và $k = 1$, ta thấy tất cả các nghiệm của bài toán là $(P(x), Q(x)) = ((x-a)^2, (x-a+1)(x-a-1))$, với $a$ là số nguyên dương tuỳ ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 28-05-2023 - 00:57

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh