Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

Tìm công thức tính số nghiệm $a_{n,k}$ các nghiệm nguyên $(i_1,i_2,...,i_k)$ của phương trình :
$$x_1+x_2+...+x_k=n$$ trong đó $i_1,i_2,...,i_k$ là các số nguyên lẻ, không âm.

[chanhquocnghiem]

Tìm công thức tính số nghiệm $a_{n,k}$ các nghiệm nguyên $(i_1,i_2,...,i_k)$ của phương trình :
$$x_1+x_2+...+x_k=n$$ trong đó $i_1,i_2,...,i_k$ là các số nguyên lẻ, không âm.

+ Dễ thấy rằng khi $k$ và $n$ không cùng tính chẵn lẻ thì phương trình vô nghiệm.

+ Xét trường hợp $k$ và $n$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ, ta có hàm sinh :

   $f(t)=(t+t^3+t^5+...+t^{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+1})^k=t^k\left ( 1+t^2+t^4+...+t^{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \right )^k=$

       $=t^k\left ( \frac{1-t^{2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+2}}{1-t^2} \right )^k=t^k\sum_{p=0}^{k}(-1)^pC_k^pt^{\left ( 2\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor+2 \right )p}\sum_{q=0}^{\infty}C_{q+k-1}^{k-1}t^{2q}$

   Số bộ nghiệm của phương trình là :

    $a_{n,k}=\left [ t^n \right ]f(t)=\left [ t^{n-k} \right ]\sum_{q=0}^{\infty}C_{q+k-1}^{k-1}t^{2q}=C_{\frac{n+k-2}{2}}^{k-1}$.

Vậy :

- Nếu $k$ và $n$ không cùng tính chẵn lẻ thì $a_{n,k}=0$.

- Nếu $k$ và $n$ cùng tính chẵn lẻ thì $a_{n,k}=C_{\frac{n+k-2}{2}}^{k-1}$.

 

 

[Nobodyv3]

Em xin đề nghị kết quả có thể viết là :
$$ a_{n,k}=\begin {cases}
C_{\frac {n+k-2}{2}}^{k-1}&& \text{nếu $n-k$ chẵn, }\\
0 && \text{ngược lại. }
\end {cases}$$