Chủ đề này có 1 trả lời

[huytran08]

Tìm $f: \mathbb{R^{+}}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ sao cho với mỗi giá trị $x\in \mathbb{R}^{+}$ tồn tại duy nhất 1 giá trị $y\in \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn:$xf(y)+yf(x) \leq 2$

 Bài khá quen mà mình không nhớ làm ở đâu,mời các cao nhân giúp ạ.

[huytran08]

Lời giải

Với mỗi $x>0$, xét số $y_0>0$ sao cho $xf(y_0) +y_0f(x)\leq 2$.

Giả sử $y_0\neq x$.Do tính duy nhất của $y_0$ nên $xf(x).2>2\Rightarrow xf(x) >1$ $\Rightarrow f(x)>\frac{1}{x}$.

Tương tự với $y_0$, ta cũng có $f(y_0)>\frac{1}{y_0}$.

Từ đó $xf(y_0) + y_0f(x)  > \frac{x}{y_0} + \frac{y_0}{x}>2$(vô lí).

Do đó $y_0=x$ hay $f(x)\leq \frac{1}{x},\forall x\in\mathbb R^+$. (1)

Suy ra $f(x)y + f(y)x>2,\forall x,y\in\mathbb R^+;x\neq y$. (*)

Nếu tồn tại $x>y$ mà $f(x) \geq  f(y)$ thì $f(x)y + f(y)x < 2f(x).x \leq 2$(vô lí).

Do đó $f$ là hàm giảm nghiêm ngặt.

Giả sử $\exists a>0: f(a) \neq \frac{1}{a}$.

Khi đó thay $x=a; y=\frac{1}{f(a)}$ vào (*) ta có:$f\left(\frac{1}{f(a)}\right)> \frac{1}{a}$.

Mặt khác sử dụng (1) ta có:

$\frac{1}{f(a)} \geq a\Rightarrow f\left(\frac{1}{f(a)}\right) \leq f(a) \leq \frac{1}{a}$(mâu thuẫn).

Vậy $f(x)=\frac{1}{x},\forall x\in\mathbb R^+$.