Chủ đề này có 19 trả lời

[thvn]

Bài toán 1: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]

Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 27-05-2023 - 09:24

[thvn]

Bài toán 2: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.

[Leonguyen]

Bài toán 1: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]

Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$

Sử dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$\ast$  $a^2+b^2+c^2=(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3\geq 2a+2b+2c-3=3.$

$\ast$  $2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+a^3+1)+(b^3+b^3+1)+(c^3+c^3+1)-3\geq 3a^2+3b^2+3c^2-3$

    $\geq3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)\rightarrow$ đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 27-05-2023 - 09:53

[Leonguyen]

 

Bài toán 2: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.

 

Sử dụng BĐT $\frac{1}{x_1+x_2+x_3+x_4}\leq\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)$ ta có:

$\sum\frac{1}{2a+b+c}=\sum\frac{1}{a+a+b+c}\leq\sum\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$ Vậy $\min S=1\Leftrightarrow a=b=c.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 27-05-2023 - 09:39

[huytran08]

Sử dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3\geq 2a+2b+2c-3=3.$

$a^3+b^3+c^3=(a^3+1+1)+(b^3+1+1)+(c^3+1+1)-6\geq 3a+3b+3c-6=3$

bài chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$ chứ có phải chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 3$ đâu bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 27-05-2023 - 09:48

[Leonguyen]

bài chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$ chứ có phải chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 3$ đâu bạn

Mình nhìn nhầm đó mình đã sửa lại rồi.

[thvn]

Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]

Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.

a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 27-05-2023 - 09:57

[ThienDuc1101]

Em xin phép làm bài 3 ạ.

 

Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]

Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.

a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.

 

a)$\frac{x^2+y^2}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

b)Áp dụng BĐT ở câu a, ta được

$P=(1+x+\frac{1}{x})^2+(1+y+\frac{1}{y})^2\geq \frac{(1+x+\frac{1}{x}+1+y+\frac{1}{y})^2}{2}\geq \frac{(2+x+y+\frac{4}{x+y})^2}{2}=\frac{(2+x+y+\frac{1}{x+y}+\frac{3}{x+y})^2}{2}\geq \frac{(2+2+3)^2}{2}=\frac{49}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

[thvn]

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]

Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

[QuocMinh2k8]

 

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]

Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

 

+) Max:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$S^{2}=\left ( \sqrt{a}.\sqrt{b+1}+\sqrt{b}.\sqrt{a+1} \right )^{2}\leq\left ( \sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2} \right )\left (\sqrt{b+1}^{2}+\sqrt{a+1}^{2} \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+b+2 \right )=1.3=3$

$\Rightarrow S\leq \sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}(TM)$

+) Min:

Ta có:

$S^{2}=a\left ( b+1 \right )+b\left ( a+1 \right )+2\sqrt{a\left ( b+1 \right )b\left ( a+1 \right )}\geq 2ab+a+b+0\geq 0+1+0=1$

$\Rightarrow S\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\begin{bmatrix} (a,b)=(0;1)\\ (a,b)=(1;0) \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 28-05-2023 - 11:50

[thvn]

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]

1. Giải hệ phương trình: 

$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$

2. Giải phương trình:

$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.

[QuocMinh2k8]

 

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]

1. Giải hệ phương trình: 

$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$

2. Giải phương trình:

$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.

Trường KHTN cũng có cấp 2 ạ? Hay đây là trường tổ chức thi thử thôi ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 28-05-2023 - 16:32

[thvn]

Trường KHTN cũng có cấp 2 ạ? Hay đây là trường tổ chức thi thử thôi ạ?

 

Bạn 2k8 mà yêu thích Toán vậy là có triển vọng  .

Thôi cứ tập chung chuyên môn, để ý câu từ làm chi cho mệt!

[huytran08]

2. $3x+2\sqrt{4x+5}=1+4\sqrt{x+3}$ (1)

 ĐKXĐ:$x\geq \frac{-5}{4}$

(1) $\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$

     $\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$

     $\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$

     $\Rightarrow \left\{\begin{array}x\geq \frac{-1}{3}&\\9x^{2}+6x+1=4x+12\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq \frac{-1}{3} & \\ 9x^{2}+2x-11=0& \end{matrix}\right.$

     $\Rightarrow x=1$

     

[thvn]

2. $3x+2\sqrt{4x+5}=1+4\sqrt{x+3}$ (1)

 ĐKXĐ:$x\geq \frac{-5}{4}$

(1) $\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$

     $\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$

     $\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$

     $\Rightarrow \left\{\begin{array}x\geq \frac{-1}{3}&\\9x^{2}+6x+1=4x+12\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq \frac{-1}{3} & \\ 9x^{2}+2x-11=0& \end{matrix}\right.$

     $\Rightarrow x=1$

 

Cảm ơn bạn, một cách giải đẹp 

[truongphat266]

 

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]

1. Giải hệ phương trình: 

$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$

 

 

$\left\{\begin{matrix} x^3+8y^3=9 & & \\ (x+2y)(6xy+1)=21 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+8y^3=9 & \\ 6x^2y+12xy^2+x+2y=21 & \end{matrix}\right.$
Cộng vế theo vế:

$\rightarrow (x+2y)^3+(x+2y)-30=0\Leftrightarrow (x+2y+3)[(x+2y)^2-3(x+2y)+10]=0$
$\rightarrow x+2y=3$ $\Leftrightarrow x=3-2y$

$\rightarrow (3-2y)^3+8y^3=9\Leftrightarrow 18(y-1)(2y-1)=0\Leftrightarrow y=1$ hay $y=\frac{1}{2}$

Với: $y=1\rightarrow x=1$
Với: $y=\frac{1}{2}\rightarrow x=2$

Vậy: $(x;y)=$ {$(1;1);(2;\frac{1}{2})$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 28-05-2023 - 17:14

[thvn]

Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.

Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 31-05-2023 - 20:55

[QuocMinh2k8]

 

Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]

Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.

Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

 

Đk: $x\geq \frac{3}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+8x-6+2\sqrt{x.\left ( x+4 \right ).2.\left ( 2x-3 \right )}=3x^{2}+7x+2$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-x+8-2\sqrt{\left ( 2x^{2}-3x \right )\left ( 2x+8 \right )}=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8} \right )^{2}=0$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}=\sqrt{2x+8}$

$\Rightarrow 2x^{2}-3x=2x+8$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-5x-8=0$

$\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$ $\left (Vì  x\geq \frac{3}{2} \right )$

KL: $S=\left \{ \frac{5+\sqrt{89}}{4} \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 02-06-2023 - 23:02

[thvn]

Bài toán 7: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt II, năm 2023]

Giải phương trình: $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2-x^2}$ = $2 + |x-1|$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 03-06-2023 - 21:43

[William Nguyen]

 

Bài toán 7: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt II, năm 2023]

Giải phương trình: $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2-x^2}$ = $2 + |x-1|$.

 

+, Điều kiện: $\frac{1}{2}\leq x\leq\sqrt{2}$.

+, Với $x\in [\frac{1}{2}, \sqrt{2}]$, ta có

$(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2-x^2})^2\leq 2.[(2x-1)+(2-x^2)]=2.(-x^2+2x+1)=-2(x-1)^2+4\leq4$

$\Rightarrow VT=\sqrt{2x-1}+\sqrt{2-x^2} \leq 2$, $(1)$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=\sqrt{2-x^2}\\ x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1.$

 

$VP=2+|x-1|\geq 2$, $(2)$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=1$.

+, Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x=1$