Đến nội dung

Hình ảnh

Một số bài toán khó trong các đề thi thử vào lớp 10 THPT 2023 - 2024


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 1: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]
Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 27-05-2023 - 09:24

N.K.S - Learning from learners!


#2
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 2: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.

N.K.S - Learning from learners!


#3
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài toán 1: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Lương Thế Vinh, 21/05/2023]

Cho a, b, c là 3 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3.
Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge 3$ và $a^{3} + b^{3} + c^{3} \ge $ $a^{2} + b^{2} + b^{2}$

Sử dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$\ast$  $a^2+b^2+c^2=(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3\geq 2a+2b+2c-3=3.$

$\ast$  $2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+a^3+1)+(b^3+b^3+1)+(c^3+c^3+1)-3\geq 3a^2+3b^2+3c^2-3$

    $\geq3a^2+3b^2+3c^2-(a^2+b^2+c^2)=2(a^2+b^2+c^2)\rightarrow$ đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 27-05-2023 - 09:53

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

 

Bài toán 2: [Đề thi thử vào lớp 10 Quận Tây Hồ, 18/05/2023]
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn  $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c} \le 4$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S =  $\frac{1}{2a + b + c}$ + $\frac{1}{2b + c + a}$ + $\frac{1}{2c + a + b}$.

 

Sử dụng BĐT $\frac{1}{x_1+x_2+x_3+x_4}\leq\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\right)$ ta có:

$\sum\frac{1}{2a+b+c}=\sum\frac{1}{a+a+b+c}\leq\sum\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=1.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c.$ Vậy $\min S=1\Leftrightarrow a=b=c.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 27-05-2023 - 09:39

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#5
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Sử dụng BĐT $\text{AM-GM}$ ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a^2+1)+(b^2+1)+(c^2+1)-3\geq 2a+2b+2c-3=3.$

$a^3+b^3+c^3=(a^3+1+1)+(b^3+1+1)+(c^3+1+1)-6\geq 3a+3b+3c-6=3$

bài chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$ chứ có phải chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 3$ đâu bạn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 27-05-2023 - 09:48

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#6
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

bài chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$ chứ có phải chứng minh $a^3+b^3+c^3\geq 3$ đâu bạn

Mình nhìn nhầm đó mình đã sửa lại rồi.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#7
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.
a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 27-05-2023 - 09:57

N.K.S - Learning from learners!


#8
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Em xin phép làm bài 3 ạ.

 

Bài toán 3: [Đề thi thử vào lớp 10 trường Ngô Sỹ Liên, Quận Hoàn Kiếm, 10/05/2023]
Cho x, y là các số thực dương và x + y ≤ 1.
a. Chứng minh rằng $\frac{x^{2} + y^{2}}{2} \ge \left( \frac{x+y}{2} \right)^{2}$.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\left( 1+x+\frac{1}{x} \right)^{2}$ + $\left( 1+y+\frac{1}{y} \right)^{2}$.

 

a)$\frac{x^2+y^2}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^2\Leftrightarrow 2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$

b)Áp dụng BĐT ở câu a, ta được

$P=(1+x+\frac{1}{x})^2+(1+y+\frac{1}{y})^2\geq \frac{(1+x+\frac{1}{x}+1+y+\frac{1}{y})^2}{2}\geq \frac{(2+x+y+\frac{4}{x+y})^2}{2}=\frac{(2+x+y+\frac{1}{x+y}+\frac{3}{x+y})^2}{2}\geq \frac{(2+2+3)^2}{2}=\frac{49}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$



#9
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

N.K.S - Learning from learners!


#10
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

 

Bài toán 4: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Ba Đình, 10/05/2023]
Cho a, b là các số thực không âm thỏa mãn và a + b   = 1.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = $\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b(a+1)}$.

 

+) Max:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$S^{2}=\left ( \sqrt{a}.\sqrt{b+1}+\sqrt{b}.\sqrt{a+1} \right )^{2}\leq\left ( \sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2} \right )\left (\sqrt{b+1}^{2}+\sqrt{a+1}^{2} \right )=\left ( a+b \right )\left ( a+b+2 \right )=1.3=3$

$\Rightarrow S\leq \sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}(TM)$

+) Min:

Ta có:

$S^{2}=a\left ( b+1 \right )+b\left ( a+1 \right )+2\sqrt{a\left ( b+1 \right )b\left ( a+1 \right )}\geq 2ab+a+b+0\geq 0+1+0=1$

$\Rightarrow S\geq 1$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow\begin{bmatrix} (a,b)=(0;1)\\ (a,b)=(1;0) \end{bmatrix}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 28-05-2023 - 11:50

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#11
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]
1. Giải hệ phương trình: 
$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$
2. Giải phương trình:
$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.

N.K.S - Learning from learners!


#12
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

 

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]
1. Giải hệ phương trình: 
$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$
2. Giải phương trình:
$3x +2\sqrt{4x+5} = 1+4\sqrt{x+3}$.

Trường KHTN cũng có cấp 2 ạ? Hay đây là trường tổ chức thi thử thôi ạ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 28-05-2023 - 16:32

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#13
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Trường KHTN cũng có cấp 2 ạ? Hay đây là trường tổ chức thi thử thôi ạ?

 

Bạn 2k8 mà yêu thích Toán vậy là có triển vọng :like .

Thôi cứ tập chung chuyên môn, để ý câu từ làm chi cho mệt!


N.K.S - Learning from learners!


#14
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

2. $3x+2\sqrt{4x+5}=1+4\sqrt{x+3}$ (1)

 ĐKXĐ:$x\geq \frac{-5}{4}$

(1) $\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$

     $\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$

     $\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$

     $\Rightarrow \left\{\begin{array}x\geq \frac{-1}{3}&\\9x^{2}+6x+1=4x+12\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq \frac{-1}{3} & \\ 9x^{2}+2x-11=0& \end{matrix}\right.$

     $\Rightarrow x=1$

     


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#15
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

2. $3x+2\sqrt{4x+5}=1+4\sqrt{x+3}$ (1)

 ĐKXĐ:$x\geq \frac{-5}{4}$

(1) $\Leftrightarrow 4x+5+2\sqrt{4x+5}+1=x+3+4\sqrt{x+3}+4$

     $\Leftrightarrow (\sqrt{4x+5}+1)^{2}=(\sqrt{x+3}+2)^{2}$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}+1=\sqrt{x+3}+2$

     $\Leftrightarrow \sqrt{4x+5}=\sqrt{x+3}+1$

     $\Leftrightarrow 4x+5=x+4+2\sqrt{x+3}$

     $\Leftrightarrow 3x+1=2\sqrt{x+3}$

     $\Rightarrow \left\{\begin{array}x\geq \frac{-1}{3}&\\9x^{2}+6x+1=4x+12\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq \frac{-1}{3} & \\ 9x^{2}+2x-11=0& \end{matrix}\right.$

     $\Rightarrow x=1$

 

Cảm ơn bạn, một cách giải đẹp  :like


N.K.S - Learning from learners!


#16
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

 

Bài toán 5: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt III, năm 2023]
1. Giải hệ phương trình: 
$\left\{ \begin{array}{cl}x^{3} + 8y^{3} = 9  \\(x+2y)(6xy+1)=21\end{array} \right.$
 

 

$\left\{\begin{matrix} x^3+8y^3=9 & & \\ (x+2y)(6xy+1)=21 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^3+8y^3=9 & \\ 6x^2y+12xy^2+x+2y=21 & \end{matrix}\right.$
Cộng vế theo vế:

$\rightarrow (x+2y)^3+(x+2y)-30=0\Leftrightarrow (x+2y+3)[(x+2y)^2-3(x+2y)+10]=0$
$\rightarrow x+2y=3$ $\Leftrightarrow x=3-2y$

$\rightarrow (3-2y)^3+8y^3=9\Leftrightarrow 18(y-1)(2y-1)=0\Leftrightarrow y=1$ hay $y=\frac{1}{2}$

Với: $y=1\rightarrow x=1$
Với: $y=\frac{1}{2}\rightarrow x=2$

Vậy: $(x;y)=$ {$(1;1);(2;\frac{1}{2})$}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 28-05-2023 - 17:14


#17
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 31-05-2023 - 20:55

N.K.S - Learning from learners!


#18
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

 

Bài toán 6: [Đề khảo sát chất lượng lớp 9 THCS Mỹ Đình 2 - Quận Nam Từ Liêm, 22/05/2023]
Giải phương trình $\sqrt{x^{2}+4x}$ + $\sqrt{4x-6}$ = $\sqrt{3x^{2}+7x+2}$.
Ngoài bất đẳng thức, năm nay HS chú ý ôn tập thêm các dạng của phương trình vô tỉ.

 

Đk: $x\geq \frac{3}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow x^{2}+8x-6+2\sqrt{x.\left ( x+4 \right ).2.\left ( 2x-3 \right )}=3x^{2}+7x+2$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-x+8-2\sqrt{\left ( 2x^{2}-3x \right )\left ( 2x+8 \right )}=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8} \right )^{2}=0$

$\Rightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}-\sqrt{2x+8}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-3x}=\sqrt{2x+8}$

$\Rightarrow 2x^{2}-3x=2x+8$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}-5x-8=0$

$\Rightarrow x=\frac{5+\sqrt{89}}{4}$ $\left (Vì  x\geq \frac{3}{2} \right )$

KL: $S=\left \{ \frac{5+\sqrt{89}}{4} \right \}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 02-06-2023 - 23:02

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#19
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Bài toán 7: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt II, năm 2023]
Giải phương trình: $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2-x^2}$ = $2 + |x-1|$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 03-06-2023 - 21:43

N.K.S - Learning from learners!


#20
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

 

Bài toán 7: [Đề kiểm tra kiến thức toán lớp 9 Trường THPT chuyên KHTN - đợt II, năm 2023]
Giải phương trình: $\sqrt{2x-1} + \sqrt{2-x^2}$ = $2 + |x-1|$.

 

+, Điều kiện: $\frac{1}{2}\leq x\leq\sqrt{2}$.

+, Với $x\in [\frac{1}{2}, \sqrt{2}]$, ta có

$(\sqrt{2x-1}+\sqrt{2-x^2})^2\leq 2.[(2x-1)+(2-x^2)]=2.(-x^2+2x+1)=-2(x-1)^2+4\leq4$

$\Rightarrow VT=\sqrt{2x-1}+\sqrt{2-x^2} \leq 2$, $(1)$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{2x-1}=\sqrt{2-x^2}\\ x-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1.$

 

$VP=2+|x-1|\geq 2$, $(2)$.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=1$.

+, Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất: $x=1$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh