Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của $P = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+1}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$

bất đẳng thức

Lời giải QuocMinh2k8, 30-05-2023 - 17:06

Áp dụng cosi:

+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$

+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$

Tương tự: ....

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $a + b + c \leq\sqrt{3}$

Tìm giá trị lớn nhất của $P = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+1}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 28-05-2023 - 05:59
Tiêu đề & LaTeX


#2
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
✓  Lời giải

Áp dụng cosi:

+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$

+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$

Tương tự: ....

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 30-05-2023 - 17:11

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh