Đến nội dung

Hình ảnh

Trong một nhóm gồm n nam và n nữ, mỗi nam chọn ngẫu nhiên một nữ và mỗi nữ chọn ngẫu nhiên một nam.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Trong một nhóm gồm n nam và n nữ, mỗi nam chọn ngẫu nhiên một nữ và mỗi nữ chọn ngẫu nhiên một nam.  Sự lựa chọn của các chàng trai và cô gái là độc lập với nhau.  Nếu một chàng trai và một cô gái đã chọn nhau, họ sẽ tạo thành một cặp.  Hỏi xác suất mà không có cặp nào  được hình thành .
2/ Mười hai cặp vợ chồng tham gia một câu lạc bộ. Nhóm 24 người này được phân ngẫu nhiên thành tám đội, mỗi đội ba người.  Hỏi xác suất mà không có đội nào có một cặp vợ chồng .
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Trong một nhóm gồm n nam và n nữ, mỗi nam chọn ngẫu nhiên một nữ và mỗi nữ chọn ngẫu nhiên một nam.  Sự lựa chọn của các chàng trai và cô gái là độc lập với nhau.  Nếu một chàng trai và một cô gái đã chọn nhau, họ sẽ tạo thành một cặp.  Hỏi xác suất mà không có cặp nào  được hình thành .

$n\left ( \Omega \right )=n^{2n}$

Gọi $M_k$ là số cách chọn sao cho có ít nhất $k$ cặp tạo thành. Ta tính $M_k$.

+ Chọn $k$ cặp tạo thành : Có $\frac{n^2(n-1)^2(n-2)^2...(n-k+1)^2}{k!}=\frac{\left ( P_n^k \right )^2}{k!}$ cách

+ Mỗi người không thuộc $k$ cặp đó có $n$ cách chọn $\rightarrow n^{2(n-k)}$ cách.

$\Rightarrow M_k=\frac{\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$

$\Rightarrow$ Số cách sao cho không có cặp nào tạo thành là $M=n^{2n}-M_1+M_2-M_3+...=$

      $=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$

Xác suất cần tính là :

$P=\frac{M}{n\left ( \Omega \right )}=\frac{1}{n^{2n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k\left ( P_n^k \right )^2n^{2(n-k)}}{k!}$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Mười hai cặp vợ chồng tham gia một câu lạc bộ. Nhóm 24 người này được phân ngẫu nhiên thành tám đội, mỗi đội ba người.  Hỏi xác suất mà không có đội nào có một cặp vợ chồng .

$n(\Omega )=\frac{C_{24}^3C_{21}^3C_{18}^3C_{15}^3C_{12}^3C_9^3C_6^3}{8!}=\frac{24!}{6^8.8!}=\frac{C_{12}^0P_{24}^{16}}{6^8}$

Gọi $M_k$ là số cách phân chia sao cho có ít nhất $k$ đội có cặp vợ chồng. Ta tính $M_k$.

+ Chọn $k$ cặp vợ chồng : $C_{12}^k$ cách.

+ Chọn thêm $k$ người trong số $24-2k$ người còn lại : $C_{24-2k}^k$ cách.

+ Ghép mỗi người vào một cặp vợ chồng : $k!$ cách.

+ Chia $24-3k$ người còn lại thành $8-k$ đội : $\frac{(24-3k)!}{6^{8-k}.(8-k)!}=\frac{P_{24-3k}^{16-2k}}{6^{8-k}}$

  $\Rightarrow M_k=C_{12}^kC_{24-2k}^kk!.\frac{P_{24-3k}^{16-2k}}{6^{8-k}}=\frac{C_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}$

  $\Rightarrow$ Số cách chia sao cho không có đội nào có cặp vợ chồng $M=n(\Omega )-M_1+M_2-M_3+...=$

     $=\sum_{k=0}^{8}\frac{(-1)^kC_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}$

 Xác suất cần tính là

$P=\frac{M}{n(\Omega )}=\frac{6^8}{P_{24}^{16}}\sum_{k=0}^{8}\frac{(-1)^kC_{12}^kP_{24-2k}^{16-k}}{6^{8-k}}\approx 0,344649$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-05-2023 - 23:00

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Em nghĩ như vầy :
Gọi $A_i$ là biến cố chàng trai thứ $i$ chọn được đối tác thành cặp. Ta thấy chàng trai này có $ n$ cách chọn đối tác, còn đối tác chỉ có $1$ cách chọn ; mỗi chàng trong $n-1$ chàng còn lại có $n$ cách chọn đối tác và tương tự cho $n-1$ nàng còn lại. Như vậy ta có :
$$P(A_i)=\frac {n n^{2n-2}}{n^{2n}}=\frac {n}{n^2}$$ Với $i\neq j $ , lập luận tương tự ta có :
$$P(A_iA_j)=\frac {n(n-1) n^{2n-4}}{n^{2n}}=\frac {n(n-1)}{n^4}$$ Tiếp tục như vậy ta được :
$$P(A_1\cup ...\cup A_n)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom {n}{k}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Suy ra XS cần tính là :
$$1-P(A_1\cup ...\cup A_n)= 1-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom {n}{k}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Edited.
@chanhquocnghiem Cám ơn anh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-05-2023 - 07:54

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Em nghĩ như vầy :
Gọi $A_i$ là biến cố chàng trai thứ $i$ chọn được đối tác thành cặp. Ta thấy chàng trai này có $ n$ cách chọn đối tác, còn đối tác chỉ có $1$ cách chọn ; mỗi chàng trong $n-1$ chàng còn lại có $n$ cách chọn đối tác và tương tự cho $n-1$ nàng còn lại. Như vậy ta có :
$$P(A_i)=\frac {n n^{2n-2}}{n^{2n}}=\frac {n}{n^2}$$ Với $i\neq j $ , lập luận tương tự ta có :
$$P(A_iA_j)=\frac {n(n-1) n^{2n-4}}{n^{2n}}=\frac {n(n-1)}{n^4}$$ Tiếp tục như vậy ta được :
$$P(A_1\cup ...\cup A_n)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Suy ra XS cần tính là :
$$1-P(A_1\cup ...\cup A_n)= 1-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$

Thử xét một trường hợp đơn giản là $n=2$ (hai nam là $A$ và $B$, hai nữ là $X$ và $Y$. Nếu $A$ chọn $X$ thì ký hiệu $AX$, nếu $Y$ chọn $A$ thì ký hiệu $YA$)

Dễ dàng tính được $\left | \Omega \right |=2^4=16$ và liệt kê được $16$ trường hợp đó.

Theo kết quả của mình thì xác suất không có cặp nào tạo thành là $\frac{1}{2^4}\left ( \left ( P_2^0 \right )^22^4-\frac{(P_2^1)^22^2}{1!}+\frac{(P_2^2)^22^0}{2!} \right )=\frac{1}{8}$

Còn theo bạn, xác suất đó là $1-\left ( \frac{2}{2^2}-\frac{2.1}{2^4} \right )=\frac{5}{8}$

Nhưng trong $16$ trường hợp đã liệt kê, chỉ có $2$ trường hợp không có cặp nào tạo thành là

$\left \{ AX,BY,XB,YA \right \}$ và $\left \{ AY,BX,XA,YB \right \}$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
2/ Gọi $A_i$ là biến cố đội thứ $i$ có 1 cặp vợ chồng. Ta có :
$P(A_i)=\frac {\binom {12}{1}\binom {22}{1}}{\binom {24}{3}}$
- Với $i<j: P(A_iA_j)= \frac {\binom {12}{2}\binom {20}{2}}{\binom {24}{3}\binom {21}{3}} $
- Với $i<j<k: P(A_iA_jA_k)= \frac {\binom {12}{3}\binom {18}{3}}{\binom {24}{3}\binom {21}{3}\binom {18}{3}} $
....vv.......
Theo nguyên lý bù trừ, ta có :
$P(A_1\cup ...\cup A_8)=0,6553$
Suy ra XS cần tính là :
$1-0,6553= 0,3447$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 29-05-2023 - 07:32

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh