Chủ đề này có 10 trả lời

[QuocMinh2k8]

Với các số thực không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=1.

Tìm Max của $P=\frac{x}{2-x}+\frac{y}{2-y}+\frac{z}{2-z}$

[thvn]

Đây hình như là Đề khảo sát chất lượng lớp 9 - Phòng GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Quận Hoàn Kiếm, 24/05/2023 bạn nhỉ?

   

[huytran08]

Lời giải

Do $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ nên $0 \leq x,y,z\leq 1$

 Từ đó có $x^{2}\leq x\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$

 Tương tự: $ \frac{y}{2-y}\leq y;\frac{z}{2-z}\leq z$

  $\Rightarrow P \leq 1$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

[QuocMinh2k8]

Do $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ nên $0 \leq x,y,z\leq 1$

 Từ đó có $x^{2}\leq x\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$

 Tương tự: $ \frac{y}{2-y}\leq y;\frac{z}{2-z}\leq z$

  $\Rightarrow P \leq 1$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

Sao từ $x^{2}\leq x$ lại $\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ ạ?

[thvn]

Do $x,y,z \geq 0$ và $x+y+z=1$ nên $0 \leq x,y,z\leq 1$

 Từ đó có $x^{2}\leq x\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$

 Tương tự: $ \frac{y}{2-y}\leq y;\frac{z}{2-z}\leq z$

  $\Rightarrow P \leq 1$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0;z=1$ và các hoán vị.

 

Vui một chút     

$0 \leq x,y,z\leq 1 \Rightarrow 2-x\ge 1 \Rightarrow \frac{x}{2-x} \le x$ được không nhỉ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 28-05-2023 - 16:15

[QuocMinh2k8]

Vui một chút     

$0 \leq x,y,z\leq 1 \Rightarrow 2-x\ge 1 \Rightarrow \frac{x}{2-x} \le x$ được không nhỉ???

Thế thì 2 cái còn lại ko tương tự được ạ, tại nếu tương tự thì sẽ ra(x,y,z)=(1;1;1) là ko đúng ạ.

[huytran08]

Sao từ $x^{2}\leq x$ lại $\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ ạ?

$x^{2}\leq x\Rightarrow x\leq 2x-x^{2}\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ nha bạn.

[huytran08]

Thế thì 2 cái còn lại ko tương tự được ạ, tại nếu tương tự thì sẽ ra(x,y,z)=(1;1;1) là ko đúng ạ.

Đâu bạn $x^{2}\leq x$ có dấu bằng tại $x=0$ hoặc $x=1$ mà.

[thvn]

Sao từ $x^{2}\leq x$ lại $\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ ạ?

 

$x^{2} \le x \Rightarrow x \le 2x - x^{2} =x(2-x) \Rightarrow \frac{x}{2-x} \le x$

Cái này thì bạn huytran08 xử lý đúng rồi nhưng có thực sự cần thiết không thôi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 28-05-2023 - 16:22

[QuocMinh2k8]

$x^{2}\leq x\Rightarrow x\leq 2x-x^{2}\Rightarrow \frac{x}{2-x}\leq x$ nha bạn.

Vâng ạ

[thvn]

Thế thì 2 cái còn lại ko tương tự được ạ, tại nếu tương tự thì sẽ ra(x,y,z)=(1;1;1) là ko đúng ạ.

 

Thực ra khi làm BĐT, có những điều tưởng sai mà lại đúng, đúng một cách hiển nhiên:

$0 \leq x,y,z\leq 1 \Rightarrow 2-x\ge 1 \Rightarrow \frac{x}{2-x} \le x$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 28-05-2023 - 17:01