Một bài toán nho nhỏ cho tối Chủ nhật thư giãn:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$.Tìm $MinP= \frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}$
Lời giải Leonguyen, 28-05-2023 - 21:37
$\sum\frac{a}{b^2+c^2}=\sum\frac{a}{1-a^2}=\sum\frac{a^2}{a(1-a^2)}=\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\cdot(1-a^2)\cdot(1-a^2)}}$ $ \overset{AM-GM}{\geq}\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{1}{27} [2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)]^3}}$ $=\sum\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Vậy $\min P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Đi đến bài viết »Một bài toán nho nhỏ cho tối Chủ nhật thư giãn:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$.Tìm $MinP= \frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}$
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
$\sum\frac{a}{b^2+c^2}=\sum\frac{a}{1-a^2}=\sum\frac{a^2}{a(1-a^2)}=\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\cdot(1-a^2)\cdot(1-a^2)}}$ $ \overset{AM-GM}{\geq}\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{1}{27} [2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)]^3}}$ $=\sum\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
Vậy $\min P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
Thực ra bài này giải bằng UCT nhanh hơn:
Ta sẽ chứng minh:$ \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$
Thật vậy:$ \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$ $\Leftrightarrow (a\sqrt{3}-1)^{2}(3a^{2}+2a\sqrt{3})\geq 0$(luôn đúng)
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh