Đến nội dung

Hình ảnh

$MinP= \frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}$


Lời giải Leonguyen, 28-05-2023 - 21:37

$\sum\frac{a}{b^2+c^2}=\sum\frac{a}{1-a^2}=\sum\frac{a^2}{a(1-a^2)}=\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\cdot(1-a^2)\cdot(1-a^2)}}$ $ \overset{AM-GM}{\geq}\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{1}{27} [2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)]^3}}$ $=\sum\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Vậy $\min P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Một bài toán nho nhỏ cho tối Chủ nhật thư giãn:

  Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=1$.Tìm $MinP= \frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}$


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết
✓  Lời giải

$\sum\frac{a}{b^2+c^2}=\sum\frac{a}{1-a^2}=\sum\frac{a^2}{a(1-a^2)}=\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{2a^2\cdot(1-a^2)\cdot(1-a^2)}}$ $ \overset{AM-GM}{\geq}\sum\frac{\sqrt{2}a^2}{\sqrt{\frac{1}{27} [2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)]^3}}$ $=\sum\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ $=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Vậy $\min P=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}.$


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Thực ra bài này giải bằng UCT nhanh hơn:

Ta sẽ chứng minh:$ \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$

 Thật vậy:$ \frac{a}{1-a^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$ $\Leftrightarrow (a\sqrt{3}-1)^{2}(3a^{2}+2a\sqrt{3})\geq 0$(luôn đúng)


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh