Bài toán 3. Tìm hai chữ số tận cùng của $n^{20}$ với $n$ là một số tự nhiên tận cùng bằng $2$.
Đây có lẽ là bài toán thú vị nhất. Sẽ thật dễ dàng nếu ta được sử dụng khai triển nhị thức Newton. Bởi từ khai triển đó, nếu đặt $n=10k+2$ ta có ngay $n^{20}\equiv 2^{20} \pmod{100}$, rồi kết hợp với $2^{20}=1048576$ ta suy ra hai chữ số tận cùng cần tìm là $76$.
Tuy nhiên, nếu cần một lời giải cho bậc THCS thì phải có cách thức giải khéo léo hơn. Bạn Chanhquocnghiem đã có cách giải quyết rất hay. Sau đây là một hướng khác. Ý tưởng: chứng minh $n^{20}-2^{20} \vdots 100$.
Ta có nhận xét
$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4).$
Áp dụng cho $a=n^4, b=2^4$ ta có
\begin{equation}n^{20}-2^{20}=(n^4)^5-(2^4)^5=(n^4-2^4)(n^{16}+n^{12}.2^4+n^{8}.2^8+n^{4}.2^{12}+2^{16})\end{equation}
Theo giả thiết ta có $n \equiv 2 \pmod{10}$ nên
\begin{equation} n^4 -2^4 \equiv 0 \pmod{10}\end{equation}
và,
\begin{equation} n^{16} \equiv n^{12}.2^4 \equiv n^{8}.2^8 \equiv n^{4}.2^{12} \equiv 2^{16} \pmod{10}\end{equation}
Từ $(3)$ ta suy ra
\begin{equation} n^{16}+n^{12}.2^4+n^{8}.2^8+n^{4}.2^{12}+2^{16}\equiv 5.2^{16} \equiv 0 \pmod{10}\end{equation}
Từ $(1)$, $(2)$ và $(4)$ ta suy ra $n^{20}-2^{20}\equiv 0\pmod{100}$. Đây là điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 23:24