Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm năm chữ số tận cùng của $5^{55}$ (và một số bài toán về tìm chữ số tận cùng khác)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 1. Tìm năm chữ số tận cùng của $5^{55}$. 

Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng của $1^5+2^5+3^5+4^5+...+100^5$.

Bài toán 3. Tìm hai chữ số tận cùng của $n^{20}$ với $n$ là một số tự nhiên tận cùng bằng $2$. 

Bài toán 4. Tìm $20$ chữ số tận cùng của $90!$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 09:33

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#2
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 159 Bài viết

Bài toán 2. Tìm chữ số tận cùng của $1^5+2^5+3^5+4^5+...+100^5$.

 

Nhìn mãi mới làm được bài 2 nên em xin được làm bài 2 :D

 

Có: $\left\{\begin{matrix} 2\sum_{i=1}^{100}(i^5)=(1^5+100^5)+(2^5+99^5)+...+(100^5+1^5) \vdots101 & \\ 2\sum_{i=1}^{100}(i^5)=2.100^5+(1^5+99^5)+...+(99^5+1^5) \vdots 100 & \end{matrix}\right.$
Mà: $(100,101) =1$ $\rightarrow2 \sum_{i=1}^{100}i^5\vdots10100 $$\rightarrow \sum_{i=1}^{100}i^5 \vdots 5050=\sum_{i=1}^{100}i$
Vậy chữ số tận cùng của $\sum_{i=1}^{100}i^5$ là $0$

Nếu có sai sót mong mọi người giúp đỡ :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongphat266: 29-05-2023 - 18:07


#3
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 

Mà: $(100,101) =1$ $\rightarrow \sum_{i=1}^{100}i^5\vdots10100 $
Vậy chữ số tận cùng của $\sum_{i=1}^{100}i^5$ là $0$

 

Từ $(100, 101)=1$ chỉ suy ra được $ 2\sum_{i=1}^{100}i^5 \vdots 10100$. 

Hơn nữa, để tìm chữ số tận cùng của một số $a$, ta chỉ cần xét số dư khi chia $a$ cho $10$ là được. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 15:08

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Bài toán 1. Tìm năm chữ số tận cùng của $5^{55}$.

Ta có $5^{11}\equiv 28125\ (mod\ 100000 )$

$\Rightarrow 5^{22}\equiv 28125^2\equiv 15625\ (mod\ 100000)$

$\Rightarrow 5^{33}\equiv 15625.28125\equiv 53125\ (mod\ 100000)$

$\Rightarrow 5^{55}\equiv 15625.53125\equiv 78125\ (mod\ 100000)$

Vậy $5$ chữ số tận cùng của $5^{55}$ là $78125$

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Bài toán 4. Tìm $20$ chữ số tận cùng của $90!$. 

Từ $1$ đến $90$ có :

- $45$ số chia hết cho $2$.

- $18$ số chia hết cho $5$.

- $3$ số chia hết cho $5^2$.

$\Rightarrow$ $90!$ chia hết cho $10^{18+3}=10^{21}$

$\Rightarrow 20$ chữ số tận cùng của $90!$ là $20$ chữ số $0$.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Bài toán 3. Tìm hai chữ số tận cùng của $n^{20}$ với $n$ là một số tự nhiên tận cùng bằng $2$.

(Giải theo cách THCS)
$(10a+2)^2\equiv 40a+4\ (mod\ 100)$

$(10a+2)^3\equiv 120a+8\equiv 20a+8\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^5\equiv (40a+4)(20a+8)\equiv 400a+32\equiv 32\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^{10}\equiv (100b+32)^2\equiv 24\ (mod\ 100)$

$\Rightarrow (10a+2)^{20}\equiv (100c+24)^2\equiv 76\ (mod\ 100)$

Vậy đáp án là $76$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 29-05-2023 - 16:51

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Nhìn mãi mới làm được bài 2 nên em xin được làm bài 2 :D

 

Có: $\left\{\begin{matrix} 2\sum_{i=1}^{100}(i^5)=(1^5+100^5)+(2^5+99^5)+...+(100^5+1^5) \vdots101 & \\ 2\sum_{i=1}^{100}(i^5)=2.100^5+(1^5+99^5)+...+(99^5+1^5) \vdots 100 & \end{matrix}\right.$
Mà: $(100,101) =1$ $\rightarrow2 \sum_{i=1}^{100}i^5\vdots10100 $$\rightarrow \sum_{i=1}^{100}i^5 \vdots 5050=\sum_{i=1}^{100}i$
Vậy chữ số tận cùng của $\sum_{i=1}^{100}i^5$ là $0$

Nếu có sai sót mong mọi người giúp đỡ :D

Lời giải trên có thể viết gọn lại như sau: 

 

Ta có với $n$ là số tự nhiên lẻ thì $a^n+b^n \vdots a+b$. Do đó 

$ 2\sum_{i=1}^{100}i^5=2.100^5+(1^5+99^5)+...+(99^5+1^5) \vdots 100 $. 

Suy ra  $ \sum_{i=1}^{100}i^5 \vdots 10 $. 

Vậy chữ số tận cùng của biểu thức đã cho là $0$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 18:43

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#8
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 1. Tìm năm chữ số tận cùng của $5^{55}$. 

 

Sau đây là một lời giải khác. Ý tưởng: chứng minh $5^{55} \equiv 5^7\pmod{10^5}$. Khi đó do $5^7=78125$ nên $5^{55}$ có $5$ chữ số tận cùng là $78125$. 

Ta có 

$$5^{55}-5^7=5^7(5^{48}-1)=5^7.(5^{24}+1)(5^{12}+1)(5^6+1)(5^3+1)(5^3-1).$$

Trong đó $5^7 \vdots 5^5$ và 

$$(5^{24}+1)(5^{12}+1)(5^6+1)(5^3+1)(5^3-1) \vdots 2^5.$$

Do đó $5^{55}-5^7 \vdots 10^5$. Đây là điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-05-2023 - 00:28

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#9
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 3. Tìm hai chữ số tận cùng của $n^{20}$ với $n$ là một số tự nhiên tận cùng bằng $2$. 

 

Đây có lẽ là bài toán thú vị nhất. Sẽ thật dễ dàng nếu ta được sử dụng  khai triển nhị thức Newton. Bởi từ khai triển đó, nếu đặt $n=10k+2$ ta có ngay  $n^{20}\equiv 2^{20} \pmod{100}$, rồi kết hợp với $2^{20}=1048576$ ta suy ra hai chữ số tận cùng cần tìm là $76$. 

 

Tuy nhiên, nếu cần một lời giải cho bậc THCS thì phải có cách thức giải khéo léo hơn. Bạn Chanhquocnghiem đã có cách giải quyết rất hay. Sau đây là một hướng khác. Ý tưởng: chứng minh $n^{20}-2^{20} \vdots 100$. 

 

Ta có nhận xét

$a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4).$

Áp dụng cho $a=n^4, b=2^4$ ta có 

\begin{equation}n^{20}-2^{20}=(n^4)^5-(2^4)^5=(n^4-2^4)(n^{16}+n^{12}.2^4+n^{8}.2^8+n^{4}.2^{12}+2^{16})\end{equation} 

Theo giả thiết ta có $n \equiv 2 \pmod{10}$ nên 

\begin{equation} n^4 -2^4 \equiv 0 \pmod{10}\end{equation} 

và,  

\begin{equation} n^{16} \equiv n^{12}.2^4 \equiv n^{8}.2^8  \equiv n^{4}.2^{12} \equiv 2^{16} \pmod{10}\end{equation} 

Từ $(3)$ ta suy ra 

\begin{equation} n^{16}+n^{12}.2^4+n^{8}.2^8+n^{4}.2^{12}+2^{16}\equiv 5.2^{16} \equiv 0 \pmod{10}\end{equation} 

Từ $(1)$, $(2)$ và $(4)$ ta suy ra $n^{20}-2^{20}\equiv 0\pmod{100}$. Đây là điều phải chứng minh. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 23:24

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#10
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Từ $1$ đến $90$ có :

- $45$ số chia hết cho $2$.

- $18$ số chia hết cho $5$.

- $3$ số chia hết cho $5^2$.

$\Rightarrow$ $90!$ chia hết cho $10^{18+3}=10^{21}$

$\Rightarrow 20$ chữ số tận cùng của $90!$ là $20$ chữ số $0$.
 

 

Viết chi tiết cách làm trên cho mọi người dễ hiểu hơn chút. 

 

Từ $1$ đến $90$ có tất cả $18$ số chia hết cho $5$ là $5, 10, 15,..., 85, 90$. Trong $18$ số này lại có $3$ số chia hết cho $25$ là $25, 50, 75$. Từ đó suy ra tích của $18$ số nói trên chia hết cho $5^{21}$. Mặt khác dễ thấy tích của $90$ số tự nhiên liên tiếp thì phải chia hết cho $2^{21}$. Từ đó ta suy ra $90!$ chia hết cho $10^{21}$. Vậy $90!$ có $21$ chữ số tận cùng đều là $0$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 22:44

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#11
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

$n=10k+2$ ta có ngay  $n^{20}\equiv 2^{20} (\mod 100)$

Anh có thể sử dụng \pmod thay cho \mod thì cái ngoặc nó sẽ sát với chữ mod nhìn đẹp hơn

n^{20}\equiv 2^{20}\pmod{100} ➝ $n^{20}\equiv 2^{20}\pmod{100}$


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#12
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 5. Tìm chữ số tận cùng của $a$ là bội chung nhỏ nhất của $7^{24}+1$ và $7^{24}-1$. 

Bài toán 6. Tìm hai chữ số tận cùng của $9^{9^9}$. 

Bài toán 7. Tìm hai chữ số tận cùng của $\left[ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right]$.

Bài toán 8. Tìm hai chữ số tận cùng của $(1!+2!+3!+4!+...+2023!)^{42}$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-05-2023 - 01:44

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#13
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Ta có: $9^{9^{9}}=9^{387420489}$

     $9^{10}\equiv 1 \pmod {100}$ $\Rightarrow (9^{10})^{38742048}\equiv 1 \pmod {100}$

     $\Rightarrow 9^{387420480}.9^{9}\equiv 1.89\equiv 89 \pmod {100}$

     $\Rightarrow9^{9^{9}}$ có hai chứ số tận cùng là $89$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 30-05-2023 - 10:08

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#14
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài toán 5. Tìm chữ số tận cùng của $a$ là bội chung nhỏ nhất của $7^{24}+1$ và $7^{24}-1$. 

Kí hiệu BCNN và ƯCLN của $x$ và $y$ lần lượt là $[x,y]$ và $(x,y)$.

Tính chất: $[x,y].(x,y)=xy$ với $x,y$ là các số tự nhiên.

Gọi $(7^{24}+1,7^{24}-1)=d,$ suy ra $7^{24}+1\text{ }\vdots\text{ } d,7^{24}-1\text{ }\vdots\text{ } d,$ suy ra $(7^{24}+1)-(7^{24}-1)\text{ }\vdots\text{ } d$ hay $2\text{ }\vdots\text{ } d,$ suy ra $d=2$ (vì $7^{24}+1,7^{24}-1$ đều là số chẵn).

Từ Tính chất trên ta suy ra được $a=[7^{24}+1,7^{24}-1]=\frac{(7^{24}+1)(7^{24}-1)}{(7^{24}+1,7^{24}-1)}=\frac{7^{48}-1}{2}.$

Ta có $7^{48}-1\equiv \left(7^4\right)^{12}-1\equiv (2401)^{12}-1\equiv 1^{12}-1\equiv 0\pmod{100}$ $\implies \frac{7^{48}-1}{2}\equiv \frac{0}{2} \pmod{\frac{100}{2}}$ hay $\frac{7^{48}-1}{2}\equiv 0 \pmod{50}.$

Vậy chữ số tận cùng của $a$ là số $0.$


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#15
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Bài toán 7.

  Ta có:$ 10^{93}< 10^{93}+1\Rightarrow 10^{93}< (10^{62}-10^{31}+1)(10^{31}+1)\Rightarrow \frac{10^{93}}{10^{31}+1}< 10^{62}-10^{31}+1$(1)

  Lại có:$10^{62}> 10^{62}-1\Rightarrow 10^{93}> (10^{62}-10^{31})(10^{31}+1)\Rightarrow \frac{10^{93}}{10^{31}+1}> 10^{62}-10^{31}$(2)

   Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left [ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right ]=10^{62}-10^{31}\vdots 100$

                        $\Rightarrow$ Hai chữ số tận cùng của  $\left [ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right ]$ là $00$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 30-05-2023 - 14:13

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#16
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Bài toán 8. Tìm hai chữ số tận cùng của $(1!+2!+3!+4!+...+2023!)^{42}$. 

Dễ thấy $10!,11!,...,2023!$ đều chia hết cho $100.$ Ta có $1!+2!+...+9!=409113.$

Do vậy nên $(1!+2!+3!+4!+...+2023!)^{42}\equiv 13^{42}=(13^3)^{14}\equiv2197^{14}\equiv(-3)^{14}=4782969\equiv69\pmod{100}.$

Vậy hai chữ số tận cùng của $(1!+2!+3!+4!+...+2023!)^{42}$ là $69.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 30-05-2023 - 11:47

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#17
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 6. Tìm hai chữ số tận cùng của $9^{9^9}$. 

 

Ý tưởng cách giải sau tương tự cách của huytran08, chỉ có khác chút chỗ xử lý $9^9 \pmod{100}$. 

 

Ta có $9 \equiv -1 \pmod{10}$, suy ra $9^9\equiv (-1)^{10} \pmod{10}$. Lại lưu ý rằng $(-1)^{10}\equiv -1\equiv 9 \pmod{10}$, vì vậy $9^9 \equiv 9 \pmod{10}$. Ta viết lại $9^9=10k+9$ với $k \in \mathbb{N}$. Khi đó 

$9^{9^9} =9^9.(9^{10})^k.$

Tiếp theo, ta có

$9^9= 729^3= (730-1)^3 = 730^3-3.730^2.1+3.730.1^2-1^3=1000.73^3+300.73^2+2189$. 

Chứng tỏ $ 9^9\equiv 89\pmod{100}$. Điều này lại dẫn tới $9^{10}\equiv 9.89 \equiv 1\pmod{100}$. 

Suy ra 

$9^{9^9} \equiv 89.1^k\equiv 89 \pmod{100}$. 

Vậy $9^{9^9}$ có hai chữ số tận cùng là $89$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#18
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Bài toán 7. Tìm hai chữ số tận cùng của $\left[ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right]$.

 

Có thể đánh giá phần nguyên của phân số đã cho theo cách khác như sau. 

 

Ta có

$\frac{10^{93}}{10^{31}+1}=\frac{10^{93}+1}{10^{31}+1}+\frac{-1}{10^{31}+1}=10^{62}-10^{31}+1+\frac{-1}{10^{31}+1}$.

Chú ý rằng với $n \in \mathbb{Z}$ ta có $[n+x]=n+[x]$. Do vậy 

$\left[ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right]=10^{62}-10^{31}+1+\left[ \frac{-1}{10^{31}+1} \right].$

Mà dễ thấy  $\left[ \frac{-1}{10^{31}+1} \right]=-1$, suy ra 

$\left[ \frac{10^{93}}{10^{31}+1} \right]=10^{62}-10^{31}$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-05-2023 - 12:19

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#19
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Lại có:$ 10^{31}(10^{31}+1)> 10^{62}\Rightarrow 10^{93}> (10^{62}-10^{31})(10^{31}+1)$

 

Chỗ này suy luận có vẻ không ổn lắm.

 

Biến đổi tương đương $10^{93}> (10^{62}-10^{31})(10^{31}+1)$ ta được $10^{93}>10^{31}.(10^{62}-1)$, hay $10^{62}>10^{62}-1$. 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#20
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Chỗ này suy luận có vẻ không ổn lắm.

 

Biến đổi tương đương $10^{93}> (10^{62}-10^{31})(10^{31}+1)$ ta được $10^{93}>10^{31}.(10^{62}-1)$, hay $10^{62}>10^{62}-1$. 

À em nhầm để em sửa lại


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh