Chủ đề này có 3 trả lời

[lovetobelove300]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) , vẽ hai tiếp tuyến AM, AN ( M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC ( B nằm giữa A và C , tia AC nằm giữa hai tia AO, AN ). Gọi I là trung điểm BC .

MN cắt OA tại H . Gọi S là trung điểm của AH ; MS cắt đường tròn (O) tại E . Vẽ đường kính MF của đường tròn  (O). Chứng minh F, H , E thẳng hàng.

 

[William Nguyen]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) , vẽ hai tiếp tuyến AM, AN ( M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC ( B nằm giữa A và C , tia AC nằm giữa hai tia AO, AN ). Gọi I là trung điểm BC .

MN cắt OA tại H . Gọi S là trung điểm của AH ; MS cắt đường tròn (O) tại E . Vẽ đường kính MF của đường tròn  (O). Chứng minh F, H , E thẳng hàng.

+, $\left.\begin{matrix} \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^{\circ}\\ OM=ON \end{matrix}\right\}\Rightarrow \triangle AMO = \triangle ANO$

   $\Rightarrow AM = AN$

   $\Rightarrow AO$ là trung trực đoạn $MN \Rightarrow AO \perp MN$

   $\triangle AMO$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$

   $\Rightarrow \widehat{MAH} = \widehat{OMH}$ hay $\widehat{MAS} = \widehat{FMH}  (1)$

+, Mặt khác có $\triangle AHM \sim \triangle MHO \Rightarrow \frac{AH}{AM}=\frac{MH}{MO} \Rightarrow \frac{AH}{2AM}=\frac{MH}{2MO} \Rightarrow \frac{AS}{AM}=\frac{MH}{MF} (2)$

+, Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \triangle MAS \sim \triangle FMH \Rightarrow \widehat{AMS} = \widehat{MFH}$ hay $\widehat{AME} = \widehat{MFH}$

    Lại có $\widehat{AME} = \widehat{MFE}$ (góc tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $ME$) nên $\widehat{MFH} = \widehat{MFE}$

    Vì $H$ và $E$ nằm cùng một phía của $MF$ nên ta có $F, H, E$ thẳng hàng.

(Dữ kiện cát tuyến $ABC$ không sử dụng đến)

Hình gửi kèm

• 

[HaiDangPham]

 $\left.\begin{matrix} \widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^{\circ}\\ OM=ON \end{matrix}\right\}\Rightarrow \triangle AMO = \triangle ANO$

   $\Rightarrow AM = AN$

   $\Rightarrow AO$ là trung trực đoạn $MN \Rightarrow AO \perp MN$

$AM=AN$ là tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. SGK đã cho phép ta công nhận điều này. 

 

(Còn nếu chứng minh lại chi tiết, ta cần đầy đủ ba điều kiện $\angle AMO=\angle ANO=90^{\circ}$, $OA$ chung và $OM=ON$. Khi đó hai tam giác $AMO$ và $ANO$ bằng nhau (cạnh huyền-cạnh góc vuông).) 

 

Đoạn chứng minh trên có thể sửa lại gọn hơn như sau: 

 

Ta có $OM=ON$ (bán kính đường tròn) và $AM=AN$ (vì $AM, AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$). Suy ra $AO$ là đường trung trực của đoạn thẳng $MN$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 23:53

[HaiDangPham]

Mặt khác có $\triangle AHM \sim \triangle MHO \Rightarrow \frac{AH}{AM}=\frac{MH}{MO} \Rightarrow \frac{AH}{2AM}=\frac{MH}{2MO} \Rightarrow \frac{AS}{AM}=\frac{MH}{MF} (2)$.

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow \triangle MAS \sim \triangle FMH $

 

Việc chứng minh tam giác $MAS$ đồng dạng tam giác $FMH$ có thể xem như một bổ đề. Bổ đề này cần dùng trong không ít trong chứng minh các câu hình khó. Mình đã đề cập tới bổ đề đó ở đây. Hơn nữa, nếu để ý chút ta sẽ thấy, bài toán trên và bài toán mình dẫn link là tương tự nhau, giả thiết chỉ phát biểu khác đi chút. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-05-2023 - 00:05