Tìm các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn các điều kiện: $a<b<c$; $1000<abc<2500$ và ƯCLN$(a+c;b+c)=10.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 29-05-2023 - 23:36
Không gõ công thức LaTex
Tìm các số nguyên tố $a,b,c$ thỏa mãn các điều kiện: $a<b<c; 1000<abc<2500$ và ƯCLN $(a+c;b+c)=10$
Bắt đầu bởi Chinchin, 29-05-2023 - 18:01
Lời giải Leonguyen, 29-05-2023 - 20:34
Vì ƯCLN$(a+c;b+c)=10$ $\Rightarrow a+c,b+c\text{ }\vdots 10.$ Từ đây suy ra $a$ và $b$ có cùng chữ số tận cùng, chữ số tận cùng $a$ và $b$ cộng với chữ số tận cùng của $c$ bằng $10$.
Từ điều kiện $a,b,c$ là số nguyên tố, $1000<abc<2500$, $a<b<c;$ ta chứng minh được $c>10,$ $a<13$, suy ra $a\in\{2,3,5,7,11\}$.
$\text{TH}_1:$ $a=2$ thì $a+b$ lẻ nên không chia hết cho $10$, loại.
$\text{TH}_2:$ $a=5$ thì $b$ có chữ số tận cùng là $5$, mà $b>5$ nên $b$ là hợp số, loại.
$\text{TH}_3:$ $a=7.$ Từ đây suy ra được $b\geq 17,$ $c\geq 23,$ khi đó $abc\geq2737>2500,$ loại.
$\text{TH}_4:$ $a=11$ thì $b\geq31$ nên $abc>ab^2\geq 11.31^2>2500,$ loại.
$\text{TH}_5:$ $a=3.$ Nếu $b\geq 23$ thì $c\geq37$, khi đó $abc>2500$, loại. Nếu $b=13$ thì $c\in\{17,37,47\}$.
Thử lại thấy $(a,b,c)=(3,13,17),(3,13,37),(3,13,47)$ đều thoả mãn ƯCLN$(a+c;b+c)=10.$
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 29-05-2023 - 20:34
Leonguyen
-
- Thành viên
-
- 160 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
Vì ƯCLN$(a+c;b+c)=10$ $\Rightarrow a+c,b+c\text{ }\vdots 10.$ Từ đây suy ra $a$ và $b$ có cùng chữ số tận cùng, chữ số tận cùng $a$ và $b$ cộng với chữ số tận cùng của $c$ bằng $10$.
Từ điều kiện $a,b,c$ là số nguyên tố, $1000<abc<2500$, $a<b<c;$ ta chứng minh được $c>10,$ $a<13$, suy ra $a\in\{2,3,5,7,11\}$.
$\text{TH}_1:$ $a=2$ thì $a+b$ lẻ nên không chia hết cho $10$, loại.
$\text{TH}_2:$ $a=5$ thì $b$ có chữ số tận cùng là $5$, mà $b>5$ nên $b$ là hợp số, loại.
$\text{TH}_3:$ $a=7.$ Từ đây suy ra được $b\geq 17,$ $c\geq 23,$ khi đó $abc\geq2737>2500,$ loại.
$\text{TH}_4:$ $a=11$ thì $b\geq31$ nên $abc>ab^2\geq 11.31^2>2500,$ loại.
$\text{TH}_5:$ $a=3.$ Nếu $b\geq 23$ thì $c\geq37$, khi đó $abc>2500$, loại. Nếu $b=13$ thì $c\in\{17,37,47\}$.
Thử lại thấy $(a,b,c)=(3,13,17),(3,13,37),(3,13,47)$ đều thoả mãn ƯCLN$(a+c;b+c)=10.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 29-05-2023 - 23:57
- Chinchin, truongphat266, huytran08 và 1 người khác yêu thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
