Đến nội dung

Hình ảnh

Tính số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=n$ sao cho

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=n$ sao cho
a) $x_1,x_2 \leq 2$ và
b) $x_1+x_2 \leq 2$
2/ Dùng hàm sinh, hãy thiết lập công thức tính tổng $S=0^2+1^2+2^2+...+n^2.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-05-2023 - 07:16

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+x_2+...+x_k=n$ sao cho
b) $x_1+x_2 \leq 2$

(Đây là một bài hay là hai bài riêng rẽ vậy ? Nếu chỉ là một bài thì điều kiện $a$ thừa rồi)

$\textbf{TH1}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $C_{n+k-3}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

$\textbf{TH2}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-1 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $2C_{n+k-4}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

$\textbf{TH3}$ : $\left\{\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_3+x_4+x_5+...+x_k=n-2 \end{matrix}\right.\rightarrow$ Có $3C_{n+k-5}^{k-3}$ nghiệm nguyên không âm

Vậy tổng số bộ nghiệm nguyên không âm là $C_{n+k-3}^{k-3}+2C_{n+k-4}^{k-3}+3C_{n+k-5}^{k-3}$

 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
- Lúc đầu em tính để 2 câu riêng!
1/ Dễ thấy, để $ x_1+x_2=0,1,2 $ lần lượt có  $1,2,3 $ cách nên có hàm sinh là $1+2x+3x^2$. Vậy ta có :
$$\begin {align*}
f(x)&=(1+2x+3x^2)\frac {1}{(1-x)^{k-2}}\\
&=(1+2x+3x^2)\sum_{n\geq 0}
\binom{n+k-3}{k-3}x^n\\
\Rightarrow [x^n]f(x)&=([x^n]+2[x^{n-1}]+3[x^{n-2}])\sum_{n\geq 0}
\binom{n+k-3}{k-3}x^n\\
&=\binom{n+k-3}{k-3}+2\binom{n+k-4}{k-3}+3\binom{n+k-5}{k-3}
\end{align*}$$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Dùng hàm sinh, hãy thiết lập công thức tính tổng $S=0^2+1^2+2^2+...+n^2.$

Ta đã biết $\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}+...$

Cần tìm hàm $g(x)$ có dạng $n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}$

$g(x)=n+(n-1)x+(n-2)x^2+...+2x^{n-2}+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}+\frac{1-x^{n-1}}{1-x}+\frac{1-x^{n-2}}{1-x}+...+\frac{1-x}{1-x}=$

   $=\frac{n-\left ( \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-1 \right )}{1-x}=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}$

Vậy hàm sinh cần tìm là $f(x)=\frac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{(1-x)^2}.\frac{1}{(1-x)^2}=\left ( x^{n+1}-(n+1)x+n \right )\sum_{k=0}^{\infty}C_{k+3}^3x^k$

$S=\left [ x^{n-1} \right ]f(x)=nC_{n+2}^3-(n+1)C_{n+1}^3=\frac{n^2(n+1)(n+2)}{6}-\frac{n(n+1)^2(n-1)}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(Edited)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 30-05-2023 - 19:14

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
Ý em là tìm được công thức tính tổng là $S=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}.$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#6
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Ý em là tìm được công thức tính tổng là $S=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}.$

:D 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
2/ Bắt đầu từ $g(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...$ thì
$\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...$
nên $ \frac{x}{(1-x)^2} $ là hàm sinh của dãy $0,1,2,3,...$
Lập lại bước này:
$x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ x \left (\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x} \right )\right ]=\frac {x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+...$
Vậy $\frac {x(1+x)}{(1-x)^3}$ là hàm sinh của dãy $0^2,1^2,3^2,...$
Biết $ \frac {x(1+x)}{(1-x)^3}\cdot \frac {1}{1-x}=\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ là hàm sinh của dãy $0^2,0^2+1^2,0^2+1^2+2^2,0^2+1^2+2^2+3^2,...$
Do đó hệ số của $x^n$ trong $\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ là $\sum_{k=1}^{n}k^2$. Nhưng hệ số của $x^n$ trong $\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ cũng được tính là :
$$\begin {align*}
\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}&=(x+x^2)(1-x)^{-4}\\
&=(x+x^2)\left (\sum_{n\geq 0} \binom {n+3}{n}x^n\right )\\
&=\binom {n-1+3}{n-1}+\binom {n-2+3}{n-2}\\
&=\frac {(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac {(n+1)!}{3!(n-2)!}\\
&=\frac {1}{6}\left [ (n+2)(n+1)n+(n+1)n(n-1)\right] \\
&=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}$$
Do đó :
$$S=\boldsymbol {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$$
================
Các bạn có thể xem thêm:
- tính $S=1^3+2^3+...+n^3$ tại
https://diendantoanh...-s-13-23-33-n3/
- tính $S=1^4+2^4+...+n^4$ tại
https://diendantoanh...ng-các-tứ-thừa/
- Hoặc tổng quát hơn tính $S=1^n+2^n+...+n^n$ , tại
https://diendantoanh...ác-bình-phương/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-05-2023 - 21:30

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh