Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình dựa vào phương pháp hàm số đơn điệu.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Mình xin giới thiệu một phương pháp hữu dụng để giải phương trình là sử dụng tính chất của hàm số đơn điệu (chương I - giải tích 12).

Nội dung phương pháp như sau: với $D$ là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng,

1. Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu trên $D$ và có tập giá trị $T$

+, Nếu $m\in T$ thì phương trình $f(x) = m$ có đúng 1 nghiệm trên $D$.

+, Nếu $m\notin T$ thì phương trình $f(x) = m$ không có nghiệm trên $D$.

2. Nếu hàm số $y=f(x)$ đơn điệu trên $D$ thì $\forall u=u(x), v=v(x)$, ta có $f(u)=f(v)\Rightarrow u=v$.

 

Vận dụng để giải các phương trình sau (màu đỏ là chưa giải):

a, $x^2.\sqrt{x-2}=9$

b, $(2x+1)(2+\sqrt{4x^2+4x+4})+3x(2+\sqrt{9x^2+3})=0$

c, $x^3-4x^2-5x+6=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$

d, $10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x).\sqrt{2x-3x^2}=0$

e, $3\sqrt{x^2-1}=\sqrt{2x-1}+2-3x$

Mời mọi người cùng tham gia ạ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 03-06-2023 - 19:57


#2
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Lời giải câu a,

+, Điều kiện xác định: $x\geq 2$.

+, Xét hàm số $y=f(x)=x^2.\sqrt{x-2}$ có tập xác định $D=[2, +\infty)$

Có $f'(x)=2x.\sqrt{x-2}+x^2.\frac{1}{2\sqrt{x-2}}, \forall x \in (2, +\infty)$

$\Rightarrow f'(x)>0, \forall x\in(2, +\infty)$

Mà hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $D$ nên hàm số đồng biến trên $D$.

+, Do đó phương trình $f(x)=9$ có nhiều nhất 1 nghiệm, mà $f(3)=9$ nên phương trình có nghiệm duy nhất: $x=3$

 

Mình sẽ up lời giải câu b và c trong 2 ngày tới nếu không có ai giải ạ.



#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Câu c,

   $x^{3}-4x^{2}-5x+6=\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$

   $\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1+x+1=7x^{2}+9x-4+\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$

   $\Leftrightarrow (x+1)^{3}+x+1=7x^{2}+9x-4+\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$

   $\Leftrightarrow f(x+1)=f(\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4})$ với $f(a) =a^{3}+a$

  Xét hàm số $f(a)=a^{3}+a$ xác định trên $D= \mathbb{R}$

        Có $f'(a)=3a^2+1 > 0  \forall a\in \mathbb{R}$

  Suy ra $f(a)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\Rightarrow x+1=\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} & x=5\\ & x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.$

 


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#4
thvn

thvn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Phần c. là bài toán hay và bạn  huytran08 giải rồi (một thành viên rất tích cực).

Phần b. thì theo tôi bạn ra đề hơi lộ vì HS nhìn ra hàm số ẩn dưới phương trình này ngay:

$f(x)=x(2+\sqrt{x^{2}+3})$ từ đó rút ra 2x + 1 = -3x.

Tuy thế nhưng tôi đánh giá cao các "sáng tác" mới, các "tác phẩm" mới từ anh chị em yêu toán.

Cứ làm sao search google không thấy đề hay lời giải là thành công  :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thvn: 01-06-2023 - 16:12

N.K.S - Learning from learners!


#5
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Phần c. là bài toán hay và bạn  huytran08 giải rồi (một thành viên rất tích cực).

Phần b. thì theo tôi bạn ra đề hơi lộ vì HS nhìn ra hàm số ẩn dưới phương trình này ngay:

$f(x)=x(2+\sqrt{x^{2}+3})$ từ đó rút ra 2x + 1 = -3x.

Tuy thế nhưng tôi đánh giá cao các "sáng tác" mới, các "tác phẩm" mới từ anh chị em yêu toán.

Cứ làm sao search google không thấy đề hay lời giải là thành công  :D

Dạ thật ra đề phần b và c là em lấy ở tài liệu ra, search google cũng có, đăng lên vì thấy phương pháp này hay và giới thiệu cho ai chưa biết thôi ạ. Câu b đúng là để như vậy hơi lộ, lẽ ra phải là "$(4x+2)(1+\sqrt{x^2+x+1})$". Còn câu d và e mới thêm là em tự sáng tác ra ạ.



#6
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết

Lời giải câu e,  $3\sqrt{x^2-1}=\sqrt{2x-1}+2-3x$.

+, điều kiện: $x\geq1$.

+, Xét hàm số $y=f(x)=3\sqrt{x^2-1}$, $x\in[1, +\infty)$

          có $f'(x)=\frac{3x}{\sqrt{x^2-1}}>0, \forall x\in (1, +\infty)$

          mà hàm số liên tục trên $[1, +\infty)$

$\Rightarrow$ hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $[1, +\infty)$ $(1)$

+, Xét hàm số $y=g(x)=\sqrt{2x-1}+2-3x$, $x\in[1, +\infty)$

          có $g’(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-3, \forall x\in (1, +\infty)$

          Với mọi $x>1$ ta có:

          $2x-1>1>\frac{1}{9} \Rightarrow \sqrt{2x-1}>\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x-1}}<3\Rightarrow g'(x)<0$.

          mà hàm số liên tục trên $[1, +\infty)$

$\Rightarrow$ hàm số $y=g(x)$ nghịch biến trên $[1, +\infty)$ $(2)$

+, Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow$ phương trình $f(x)=g(x)$ có nhiều nhất $1$ nghiệm.

   Lại có $f(1)=g(1)=0$ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=1$.

 

(*) Nhận xét:

Ở phương trình này ta đánh giá tính đơn điệu các hàm số xác định bởi biểu thức của 2 vế. Chú ý rằng các hàm $y=f(x)$ và $y=g(x)$ không đơn điệu trên tập xác định của nó nhưng lần lượt đồng biến và nghịch biến trên tập xác định của phương trình, từ đó đánh giá được phương trình đã cho có nhiều nhất $1$ nghiệm.

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh