Chủ đề này có 1 trả lời

[Chinchin]

Cho 3 số $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{a^{2}+2ab}}{\sqrt{b^{2}+2c^{2}}}+ \frac{\sqrt{b^{2}+2bc}}{\sqrt{c^{2}+2a^{2}}}+\frac{\sqrt{c^{2}+2ac}}{\sqrt{a^{2}+2b^{2}}}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinchin: 31-05-2023 - 08:43

[nguyenhuybao06]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có $$\sqrt{\frac{a^2+2ab}{b^2+2c^2}}=\frac{a^2+2ab}{\sqrt{(b^2+2c^2)(a^2+2ab)}}\geq\frac{2(a^2+2ab)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\geq\frac{a^2+2ab}{a^2+b^2+c^2}$$

Do đó $$\sum\sqrt{\frac{a^2+2ab}{b^2+2c^2}}\geq\frac{\sum\left(a^2+2ab \right) }{a^2+b^2+c^2}=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}$$

Hoàn tất chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$