Đến nội dung

Hình ảnh

$\cos\frac{90^{\circ}}{2^n}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2}$


Lời giải huytran08, 31-05-2023 - 16:13

Thực ra cái này rất đơn giản. Tạm gọi đpcm là (1).

Xét thấy $n=0$ và $n=1$ thoả mãn.

Giả sử (1) đúng với $n=k$, ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$.

Thật vậy $ \cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k}} \right )=\cos\left ( 2.\frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=2.\cos^{2}\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )-1$

              $\Rightarrow \cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=\frac{\sqrt{2+\cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k}} \right )}}{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{2}$ (có $k+1$ dấu căn).

Từ các chứng minh trên ta có đpcm.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Chứng minh rằng: $\cos\frac{90^{\circ}}{2^n}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}\space}\space}\space}\space}{2}$ (vế phải có $n$ dấu căn) với $n\in\mathbb{N}.$

P/s: Tính chất này em tìm được sau khi chứng minh $\cos \frac{45^{\circ}}{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},$ thấy nó khá đặc biệt nên thử mở rộng thì được như trên. Nếu như bài này không phù hợp vs THCS mong ĐHV chuyển sang box khác giúp em ạ.

Mất 10 phút để gõ cái đề  :wacko:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 03-06-2023 - 06:24

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#2
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

 $\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ 

 

Đâu nhỉ, $\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ thôi chứ. Ý là $\cos \frac{90^{\circ}}{2^2}=\cos \frac{45^{\circ}}{2}$?

 

Phát hiện rất thú vị. Chắc là có thể quy nạp được. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 31-05-2023 - 14:41

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
✓  Lời giải

Thực ra cái này rất đơn giản. Tạm gọi đpcm là (1).

Xét thấy $n=0$ và $n=1$ thoả mãn.

Giả sử (1) đúng với $n=k$, ta chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$.

Thật vậy $ \cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k}} \right )=\cos\left ( 2.\frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=2.\cos^{2}\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )-1$

              $\Rightarrow \cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=\frac{\sqrt{2+\cos\left ( \frac{90^{o}}{2^{k}} \right )}}{2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{2}$ (có $k+1$ dấu căn).

Từ các chứng minh trên ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 31-05-2023 - 20:09

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#4
QuocMinh2k8

QuocMinh2k8

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

$\cos\left ( 2.\frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )=2.\cos^{2}\left ( \frac{90^{o}}{2^{k+1}} \right )-1$

Sao bạn biến đổi được z :)?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 02-06-2023 - 23:09

"Đừng quá lo lắng về những khó khăn bạn gặp phải trong Toán học. Tôi dám chắc tôi còn gặp nhiều khó khăn hơn bạn".

Albert Einstein


#5
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Sao bạn biến đổi được z :)?

 

Đấy là ta áp dụng một công thức lượng giác của lớp 10, cụ thể là  $\cos 2x=2\cos^2 x-1.$ Còn một công thức tổng quát hơn nữa là 

$$\cos (x+y)=\cos x.\cos y-\sin x.\sin y.$$ 


"Hap$\pi$ness is only real when shared."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh