Chủ đề này có 8 trả lời

[katcong]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2} =6$

Tìm max của $P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2023 - 22:27
Tiêu đề & LaTeX

[thinhisthenumber1]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2}$ +$b^{2}$ +$c^{2}$ =6

Tìm max của P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$

Ta có: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\sum \frac{1}{6-c^{2}}$

Ta dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{6-c^{2}}\leq \sum (\frac{1}{4}(c^{2}-2)+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$

Theo bđt AM-GM: $\frac{\sum a^{3}}{12abc}\geq \frac{1}{4}$

=>$-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq -\frac{1}{4}$

Cộng theo vế ta được: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq \frac{1}{ 2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\sqrt{2}$

[katcong]

Ta có: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\sum \frac{1}{6-c^{2}}$

Ta dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{6-c^{2}}\leq \sum (\frac{1}{4}(c^{2}-2)+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$

Theo bđt AM-GM: $\frac{\sum a^{3}}{12abc}\geq \frac{1}{4}$

=>$-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq -\frac{1}{4}$

Cộng theo vế ta được: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq \frac{1}{ 2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\sqrt{2}$

cái dễ dàng đó là sao ạ ,em mới lớp 8 mong dược chỉ giáo ạ.

[Leonguyen]

Ta có: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}=\sum \frac{1}{6-c^{2}}$

Ta dễ dàng chứng minh được: $\sum \frac{1}{6-c^{2}}\leq \sum (\frac{1}{4}(c^{2}-2)+\frac{1}{4})=\frac{3}{4}$

Theo bđt AM-GM: $\frac{\sum a^{3}}{12abc}\geq \frac{1}{4}$

=>$-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq -\frac{1}{4}$

Cộng theo vế ta được: $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}-\frac{\sum a^{3}}{12abc}\leq \frac{1}{ 2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $a=b=c=\sqrt{2}$

Chỗ bôi đỏ trên là $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\geq\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{4}$ chứ nhỉ?

[katcong]

Chỗ bôi đỏ trên là $\sum \frac{1}{a^2+b^2}\geq\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{4}$ chứ nhỉ?

em tưởng đang tìm max

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katcong: 31-05-2023 - 22:25

[Leonguyen]

em tưởng đang tìm max

Ý mình là cái $\sum\frac{1}{a^2+b^2}\geq\frac{3}{4}$ mà sao ở trên chỗ bôi đỏ đó lại có thể chứng minh được nó $\leq\frac{3}{4}$ ấy.

[katcong]

Ý mình là cái $\sum\frac{1}{a^2+b^2}\geq\frac{3}{4}$ mà sao ở trên chỗ bôi đỏ đó lại có thể chứng minh được nó $\leq\frac{3}{4}$ ấy.

có thể có phương pháp khác chăng

[Sangnguyen3]

Cho a,b,c dương thỏa mãn $a^{2} +b^{2} +c^{2} =6$

Tìm max của $P= \frac{1}{a^{2}+b^{2}} + \frac{1}{b^{2}+c^{2}} +\frac{1}{c^{2}+a^{2}}-\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$

$6P=3 +\sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}- \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2abc}$

$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \frac{c^{2}}{2ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leq \sum \frac{c^{2}}{2ab}=\frac{\sum a^{3}}{2abc}$

$\Rightarrow 6P\leq 3 \Rightarrow P\leq \frac{1}{2}$

[bahieutrinh]

$ 6P=\sum \ \frac{6}{a^2 + b^2} - \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} $
$  = 3 + \sum \frac{c^2}{a^2+b^2} - \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} $
$  \leq  3 + \sum \frac{c^2}{2ab} - \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} $
$  = 3 + \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc} - \frac{a^3 + b^3 + c^3}{2abc}
=3 $
$ => P \leq \frac{1}{2} Dau = xay ra \leftrightarrow a=b=c=\sqrt{2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bahieutrinh: 01-06-2023 - 11:56