Chủ đề này có 1 trả lời

[Sprouts]

Chứng minh phương trình $\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

[nhungvienkimcuong]

Chứng minh phương trình $\left \{ x^2 \right \}+\left \{ y^2 \right \}=\left \{ z^2 \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn

\[2a^2<b^2\quad\text{và}\quad 2a^2+b^2=c^2,\tag{$\ast$}\]

khi đó $2\left(\frac{a}{b}\right)^2+1=\left(\frac{c}{b}\right)^2$. Như vậy với $x=y=\frac{a}{b}$ và $z=\frac{c}{b}$ thì phương trình $\{x^2\}+\{y^2\}=\{z^2\}$ có nghiệm trên $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$.

Phần còn lại là chứng minh có vô số nghiệm, ta sẽ thực hiện điều đó bằng cách chứng tỏ rằng có vô hạn bộ ba số $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $(\ast)$. Để ý đẳng thức

\[2(2mn)^2+(2m^2-n^2)^2=(2m^2+n^2)^2.\]

Từ đây ta chọn $a=2mn,b=2m^2-n^2$ và $c=2m^2+n^2$ với $m,n$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $n<\frac{m}{2}$ và $n$ lẻ.

 

Ghi chú. Một bài toán khá tương tự như sau: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n\ge 2$ thì luôn tồn tại các số $x_1,x_2,\dots,x_n,x_{n+1}\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ thỏa mãn

\[\left \{ x_1^3 \right \}+\left \{ x_2^3 \right \}+\dots+\left \{ x_n^3 \right \}=\left \{ x_{n+1}^3 \right \}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 18-11-2023 - 00:07