Cho hai điểm thay đổi A, B lần lượt thuộc đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=ln(x+1)$. Giá trị nhỏ nhất của AB bằng $a+b.e+c\sqrt{2}$. Tìm a, b, c.
Cho hai điểm thay đổi A, B lần lượt thuộc đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=ln(x+1)$
#1
Đã gửi 01-06-2023 - 10:52
#2
Đã gửi 01-06-2023 - 14:28
Cho hai điểm thay đổi A, B lần lượt thuộc đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=ln(x+1)$. Giá trị nhỏ nhất của AB bằng $a+b.e+c\sqrt{2}$. Tìm a, b, c.
Gọi $t$ là đường thẳng $x-y+1=0$.
Nhận xét rằng hai đồ thị $y=e^{x+1}$ và $y=\ln (x+1)$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $t$ và không cắt đường thẳng $t$
Suy ra $AB_{min}=2d_{min}(M,t)$ với $M$ là điểm chạy trên đồ thị $y=e^{x+1}$.
Lấy $M$ tùy ý trên đồ thị $y=e^{x+1}\Rightarrow M(m;e^{m+1})$
$\Rightarrow d(M,t)=\frac{\left | m-e^{m+1}+1 \right |}{\sqrt{2}}=\frac{e^{m+1}-m-1}{\sqrt{2}}$
$d'(m)=\frac{e^{m+1}-1}{\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$
$d''(-1)=\frac{1}{\sqrt{2}}> 0$
$\Rightarrow d_{min}(M,t)=\frac{e^0-(-1)-1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}\Rightarrow AB_{min}=\sqrt 2$
$\Rightarrow a=0,b=0,c=1$.
- perfectstrong và Vu Tien Thanh thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh