Chủ đề này có 3 trả lời

[thvn]

Bài toán:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P = x\sqrt{\frac{7y}{3x+4z}}+y\sqrt{\frac{7z}{3y+4x}}+z\sqrt{\frac{7x}{3z+4y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-06-2023 - 19:09
Tiêu đề & LaTeX

[huytran08]

Bài này là bài thi KT kiến thức toán 9 trường KHTN đợt 4 vòng 1 thì phải:

  Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

           $P^{2}\leq 7(xy+yz+xz)\left ( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right )$(1)

 Đặt $a=x^{2}+y^{2}+z^{2},b=xy+yz+xz$ thì $b\leq \frac{1}{3}$

 Xét:$ \frac{4z}{3x+4z}+\frac{4x}{3y+4x}+\frac{4y}{3z+4y}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$

   $ = \frac{4z^{2}}{3xz+4z^{2}}+\frac{4x^{2}}{3xy+4x^{2}}+\frac{4y^{2}}{3yz+4y^{2}}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3(xy+yz+xz)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$

                                                                                $= \frac{4}{3b+4a}+\frac{3}{7b}$

                                                                                $= \frac{16}{4(3b+4a)}+\frac{9}{21b} \geq \frac{49}{16a+33b}=\frac{49}{16+b}\geq 3$

    $\Rightarrow \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y}\leq \frac{1}{ 7(xy+yz+xz)}$(2)

  Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\leq 1$

   Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$(thoả mãn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 02-06-2023 - 10:36

[QuocMinh2k8]

Bài này là bài thi KT kiến thức toán 9 trường KHTN đợt 4 vòng 1 thì phải:

  Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có:

           $P^{2}\leq 7(xy+yz+xz)\left ( \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y} \right )$(1)

 Đặt $a=x^{2}+y^{2}+z^{2},b=xy+yz+xz$ thì $b\leq \frac{1}{3}$

 Xét:$ \frac{4z}{3x+4z}+\frac{4x}{3y+4x}+\frac{4y}{3z+4y}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$

   $ = \frac{4z^{2}}{3xz+4z^{2}}+\frac{4x^{2}}{3xy+4x^{2}}+\frac{4y^{2}}{3yz+4y^{2}}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}\geq \frac{4}{3(xy+yz+xz)+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}+\frac{3}{7(xy+yz+xz)}$

                                                                                $= \frac{4}{3b+4a}+\frac{3}{7b}$

                                                                                $= \frac{16}{4(3b+4a)}+\frac{9}{21b} \geq \frac{49}{16a+33b}=\frac{49}{16+b}\geq 3$

    $\Rightarrow \frac{x}{3x+4z}+\frac{y}{3y+4x}+\frac{z}{3z+4y}\leq \frac{1}{ 7(xy+yz+xz)}$(2)

  Từ (1) và (2) $\Rightarrow P\leq 1$

   Dấu "$=$" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$(thoả mãn)

Mk tưởng (1) là Bunhia... cho 3 số?

[huytran08]

Bunhia với cauchy schwarz là 1 mà