Chủ đề này có 4 trả lời

[kograysus]

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $7^x+3^y=2^z$

[huytran08]

Giải hơi lan man nhưng vẫn ra,không biết có sai ở đâu không    :

$7^x+3^y=2^z$ (*)

Từ (*) $\Rightarrow 2^{z}\geq 10\Rightarrow z\geq 4$

Dễ chứng minh $x$ lẻ,$y$ chẵn $\Rightarrow x=2a+1,y=2b (a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N}^{*})$

 Khi đó (*) trở thành: $49^{a}.7+9^{b}=2^{z}$(1)

+ Nếu $z=4$ thì (1) trở thành:$49^{a}.7+9^{b}=16$

  Mà $49^{a}.7+9^{b} \geq 16$ nên $a=0,b=1 \Rightarrow x=1,y=2$(thoả mãn)

+ Nếu $z>4$ thì $2^{z}\vdots 16$

   $\Rightarrow 49^{a}.7+9^{b}\vdots 16$ mà $49^{a}.7\equiv 7\pmod {16}$ nên $9^{b}\equiv 9 \pmod {16} \Rightarrow b$ lẻ

  Đặt $b=2k+1(k\in \mathbb{N})$ thì (1) trở thành:$ 49^{a}.7+81^{k}.9=2^{z}$

Do $z>4$ nên $2^{z}\vdots 32\Rightarrow 49^{a}.7+81^{k}.9\vdots 32$ 

Mà $49^{a}.7+81^{k}.9\equiv 17^{a}(17^{k-a}.9+7)\pmod {32}$ $\Rightarrow 17^{k-a}.9+7\vdots 32$(vô lí) (Xét TH là ra)

 Vậy $(x;y;z)=(1;2;4)$ thoả mãn bài toán

[huytran08]

Giải hơi lan man nhưng vẫn ra,không biết có sai ở đâu không    :

$7^x+3^y=2^z$ (*)

Từ (*) $\Rightarrow 2^{z}\geq 10\Rightarrow z\geq 4$

Dễ chứng minh $x$ lẻ,$y$ chẵn $\Rightarrow x=2a+1,y=2b (a\in \mathbb{N},b\in \mathbb{N}^{*})$

 Khi đó (*) trở thành: $49^{a}.7+9^{b}=2^{z}$(1)

+ Nếu $z=4$ thì (1) trở thành:$49^{a}.7+9^{b}=16$

  Mà $49^{a}.7+9^{b} \geq 16$ nên $a=0,b=1 \Rightarrow x=1,y=2$(thoả mãn)

+ Nếu $z>4$ thì $2^{z}\vdots 16$

   $\Rightarrow 49^{a}.7+9^{b}\vdots 16$ mà $49^{a}.7\equiv 7\pmod {16}$ nên $9^{b}\equiv 9 \pmod {16} \Rightarrow b$ lẻ

  Đặt $b=2k+1(k\in \mathbb{N})$ thì (1) trở thành:$ 49^{a}.7+81^{k}.9=2^{z}$

Do $z>4$ nên $2^{z}\vdots 32\Rightarrow 49^{a}.7+81^{k}.9\vdots 32$ 

Mà $49^{a}.7+81^{k}.9\equiv 17^{a}(17^{k-a}.9+7)\pmod {32}$ $\Rightarrow 17^{k-a}.9+7\vdots 32$(vô lí) (Xét TH là ra)

 Vậy $(x;y;z)=(1;2;4)$ thoả mãn bài toán

hình như đoạn cuối sai rồi hay sao ý

[HaiDangPham]

Chứng minh trên chưa đúng, bởi trường hợp $z \geq 5$ ta vẫn tìm được $a, b$ để $49^a.7+9^b$ chia hết cho $32$. 

 

Ta có $49^2 \equiv 1 \pmod{32}$. Xét hai trường hợp với $a$. 

(i) Trường hợp $a \equiv 0 \pmod{2}$, khi đó đặt $a=2a'$, ta suy ra 

$$49^a.7 \equiv (49^2)^{a'}.7 \equiv 1^{a'}.7 \equiv 7 \pmod{32}$$

(ii) Trường hợp $a \equiv 1\pmod{2}$, khi đó đặt $a=2a'+1$, ta suy ra 

$$49^a.7 \equiv (49^2)^{a'}.49.7 \equiv 49.7 \equiv 23 \pmod{32}$$

 

Tương tự, từ nhận xét $9^4 \equiv 1 \pmod{32}$ ta có 

(i) Trường hợp $b \equiv 1 \pmod{4}$ thì $$9^b\equiv 9 \pmod{32}$$

(ii) Trường hợp $b \equiv 3 \pmod{4}$ thì $$9^b \equiv 25 \pmod{32}$$

 

Vậy ta chỉ cần chọn $a \equiv 0 \pmod{2}$ và $b \equiv 3 \pmod{4}$, hoặc $ a \equiv 1 \pmod{2}$ và  $b\equiv 1 \pmod{4}$ thì đều dẫn tới $49^a.7+9^b$ chia hết cho $32$. 

 

Kể cả khi ta xét $z \geq 6$ thì vẫn có thể chọn $a, b$ sao cho $49^a.7+9^b$ chia hết cho $64$ (chẳng hạn $a=2$ và $b=3$). Như vậy, phương pháp tiếp cận dựa trên số dư khi chia $49^a.7+9^b$ cho $2^k$ này có lẽ không thích hợp để giải quyết triệt để bài toán. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 04-06-2023 - 00:16

[HaiDangPham]

Lời giải

Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $7^x+3^y=2^z$

 

Ta có bổ đề sau: 

Bổ đề

Cho các số nguyên dương $a, b, m, n$. Gọi $q$ là số dư trong phép chia $m$ cho $n$. Khi đó nếu $a^n \equiv 1\pmod{b}$ thì $a^m \equiv a^q \pmod{b}$.

 

Bổ đề trên rất dễ chứng minh, xin dành cho bạn đọc. Bây giờ, ta quay trở lại bài toán. 

 

Trước hết, ta nhận thấy $z\equiv 0\pmod{2}$. Thật vậy, nếu $z \equiv 1\pmod{2}$, thì do $2^2\equiv 1\pmod{3}$, áp dụng Bổ đề 1 ta được $$2^z \equiv 2 \pmod{3}$$ trong khi đó $7^x+3^y \equiv 1\pmod{3}$, mâu thuẫn. 

 

Tiếp theo, vì $x, y$ nguyên dương nên $7^x+3^y \geq 10$, suy ra $z \geq 4$. Khi đó thấy ngay $ 2^z$ chia hết cho $8$. 

Lưu ý rằng $7^2\equiv 3^2 \equiv 1\pmod{8}$, áp dụng Bổ đề 1 ta có: 

(i) Nếu $x \equiv 0\pmod{2}$ thì $7^x \equiv 1 \pmod{8}$, còn nếu $x\equiv 1\pmod{2}$ thì $7^x \equiv 7 \pmod{8}$.

(ii) Nếu $y \equiv 0\pmod{2}$ thì $3^y \equiv 1 \pmod{8}$, còn nếu $y \equiv 1\pmod{2}$  thì $ 3^y \equiv 3\pmod{8}$.

Như vậy để $7^x+3^y=2^z$ chia hết cho $8$ thì ta phải có $x\equiv 1\pmod{2}$ và $y\equiv 0\pmod{2}$.  

 

Đặt $y=2y'$ và $z=2z'$ với $y', z' \in \mathbb{N}$. Khi đó phương trình ban đầu trở thành $7^x+9^{y'}=4^{z'}$ hay $$7^x=(2^{z'}-3^{y'})(2^{z'}+3^{y'})$$ Do đó $2^{z'}-3^{y'}=7^m$ và $2^{z'}+3^{y'}=7^n$ với $m+n=x$ và $n>m$. 

Suy ra $2^{z'}=\frac{7^m+7^n}{2}=7^m.\frac{7^{n-m}+1}{2}$. Từ đẳng thức này ta phải có $m=0$ và dẫn tới $2^{z'}=\frac{7^n+1}{2}$. 

Bây giờ do $m=0$ nên $n=x$ là một số lẻ. Do đó $2^{z'+1}=7^n+1=(7+1).S=8.S$, trong đó $$S=7^{n-1}-7^{n-2}+...+7^2-7+1.$$ Dễ thấy $S$ là một số lẻ do có $n$ hạng tử đều là số lẻ. Suy ra ta phải có $S=1$, dẫn tới $n=1$. 

 

Từ đây ta dễ dàng có được $x=1, y=2$ và $z=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình ban đầu. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 05-06-2023 - 05:48